Una pregunta sobre desviaciones de valoración de un PID

Question

Deje $A$ ser un PID y deje $K$ ser su cociente de campo. Deje $V$ ser un anillo de valoración de $K$ contiene $A$ y asumen $V\neq K$. Mostrar que $V$ es un anillo local $A_{(p)}$ para algunos el primer elemento $p$.

Yo sé que un anillo de valoración siempre es un anillo local. Por lo $V$ tiene un único ideal maximal, decir $\mathcal M $. De nuevo $A$ es un PID, por lo que un ideal maximal es de la forma $\langle p\rangle$ para algunos el primer elemento $p$.

Después de esto ¿cómo debo proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $R$ es una parte integral de dominio con fracción de campo $K$, luego de un overring de $R$ es un anillo de $T$$R \subset T \subset K$.

Fácil ejemplos de overrings está dado por la localización en un multiplicatively cerrado subconjunto $S$$R \setminus \{0\}$. Para un general de la integral de dominio hay overrings que no se obtienen por la localización: esto viene por el hecho de que, en general, contiguo conjuntos de elementos $\frac{x}{y}$ no puede ser reducido a contiguas conjuntos de elementos $\frac{1}{y}$.

Sin embargo, para un PID es fácil mostrar que cada overring es en realidad una localización. Sugerencia: dado $\frac{x}{y} \neq 0$, podemos encontrar $x'$ $y'$ tal que $\frac{x}{y} = \frac{x'}{y'}$ $x'$ $y'$ generar la unidad ideal.

Entonces usted tiene que demostrar que todos los locales de la localización de un PID que no es un campo se obtiene mediante la localización a través de $S = R \setminus (p)$ para algunos el primer elemento $p$.

Si usted tiene dificultad para establecer cualquiera de estos hechos, háganoslo saber.

Añadido: pido disculpas por todavía no abordar el trabajo que han hecho. Con respecto a que: creo que te refieres a la afirmación de que $\alpha$ es un PID. Cómo sabe usted eso? (Es verdad-eso es parte de lo que usted está tratando de mostrar -, pero parece requerir de la prueba.)