¿Cómo confirmar el poder de $k$-ésimo de esta matriz?

Question

Para cualquier $k \in \mathbb N$,

$$\begin{bmatrix}2&-2\0.5&0\end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix}k+1&-2k\k/2&-(k-1)\end{bmatrix}$$

He encontrado esto empíricamente mediante cómputo numérico, pero no puedo probarlo. He probado el eigendecomposition de computación, pero esta matriz no es diagonalizable.

Answer 1

Usando el teorema de Cayley-Hamilton, el polinomio característico es: %#% $ #% por lo tanto: $$p(\lambda)=\det(\lambda I_2-A)=\begin{vmatrix}\lambda-2&2\ -0.5&\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=0.$ Mus$: \end{align}$$ $$\begin{align}A^2&=2A-I;\ A^3&=A^2A=(2A-I)A=2A^2-A=2(2A-I)-A=3A-2I;\ A^4&=A^3A=(3A-2I)A=3A^2-2A=3(2A-I)-2A=4A-3I;\ \vdots \ A^k&=kA-(k-1)I=k\begin{pmatrix}2&-2\0.5&0\end{pmatrix}-(k-1)\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+1&-2k\0.5k&-(k-1)\end{pmatrix}.\

Answer 2

La matriz (llamada $A$) puede que no sea diagonalizable, pero dividido en la suma de la matriz identidad y matriz nilpotente: $$N = A-I = \begin{bmatrix}1&-2\\frac12&-1\end{bmatrix}.$$ Since $N $ and $ I $ commute you can expand $A ^ k $ using the binomial theorem: $$A^k = I + kN + \binom k2N^2 + \dots,$$ but since $N ^ 2 = 0 $, all of the terms that involve that and higher powers of $N $ vanish and you have $A ^ k = I + kN = kA + (1-k) $.

Este método funciona para cualquier matriz de $2\times2$ con un valor propio repetido $\lambda$: dividirá en $A=\lambda I+N$ $N^2=0$ y por el binomio fórmula $$A^k = \lambda^k I+k\lambda^{k-1}N = k\lambda^{k-1}A + (1 - k)\lambda^k I.$ $

Answer 3

Sugerencia

Inducción debe funcionar mejor.

Answer 4

Utilizando SymPy:

La forma normal de Jordania, la computación

Usando el teorema del binomio, se concluye que el poder de $k$-th de Jordania matriz $\rm J$ $\begin{bmatrix} 1 & k\ 0 & 1\end{bmatrix}$. Por lo tanto,

Sin embargo, SymPy es suficientemente "inteligente" para calcular la energía de #%-th de $k$% #%: