¿Por qué es la otra raíz negativa a pesar de que los coeficientes son racionales?

Question

Acerca de las ecuaciones cuadráticas, tengo la siga pregunta,

¿Cuál es la ecuación con coeficientes racionales, sabiendo que una raíz es X1 = 1 + sqrt(3) ?

Entonces, para solucionar el problema, tengo que saber que la otra raíz es X2 = 1-sqrt(3). Veo a la resolución, entonces yo uso X2 = 1-sqrt(3). Pero no sé por qué.

He resuelto de esta manera,

S (suma) = 1+sqrt(3) + 1-sqrt(3) = 2

P (producto) = (1+sqrt(3)) * (1-sqrt(3)) = -2

La fórmula es x^2 - Sum*x + Producto + = 0 de manera que la ecuación es x2 - 2x - 2 = 0.

¿Por qué es X2 igual a 1-sqrt(3) si X1 es 1+sqrt(3)?
¿Por qué es X2 igual a 5+sqrt(3) si X1 es 5-sqrt(3)?
¿Por qué sucede esto (cambiar el operador de la raíz) cuando los coeficientes son racionales?

Answer 1

Usted puede ver esta respuesta como un suplemento a Bill Dubuque, pero estoy evitando cualquier tipo de lenguaje técnico.

La clave para entender por qué si $1+\sqrt{5}$ es una raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes racionales, a continuación, $1-\sqrt{5}$ es también una raíz, es la comprensión de la simetría entre el$\sqrt{5}$$-\sqrt{5}$. Aquí es a lo que me refiero:

Si usted escribe las expresiones con números racionales y $\sqrt{5}$, y hacer operaciones matemáticas con ellos, entonces todas las matemáticas es dictadas por el hecho de que $\sqrt{5}$'s de la plaza es de 5. Ejemplo:

$$(1+\sqrt{5})(3-2\sqrt{5}) = 3 - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2\cdot (\sqrt{5})^2=3+\sqrt{5} - 10 = -7 + \sqrt{5}$$

Usted obtener la respuesta haciendo puramente racional de la aritmética, excepto en ocasiones cada vez que te ve $(\sqrt{5})^2$, puede escribir $5$. En otras palabras, el comportamiento matemático de $\sqrt{5}$ en este contexto es completamente determinado por el hecho de que $\sqrt{5}$ satisface la ecuación de $x^2=5$.

Ahora el punto clave es esta: $-\sqrt{5}$'s de la plaza es también 5. En otras palabras, también satisface la ecuación de $x^2=5$. Esto significa que $-\sqrt{5}$ se comporta exactamente de la misma manera como $\sqrt{5}$. Si reemplazamos $\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ a lo largo del cálculo de arriba, todo funcionará exactamente de la misma manera, y $-\sqrt{5}$ también reemplazará $\sqrt{5}$ en la respuesta. Mira:

$$(1-\sqrt{5})(3-2(-\sqrt{5})) = 3 -2(-\sqrt{5}) + 3(-\sqrt{5}) - 2\cdot(-\sqrt{5})^2 $$

$$= 3 - \sqrt{5} - 10 = -7-\sqrt{5}$$

La sustitución de $\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ en el problema sólo lo reemplazó así todo el cálculo y en particular en la respuesta.

Así, a tu pregunta original, si $1+\sqrt{5}$ es una raíz de una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ con coeficientes racionales, que significa que

$$a(1+\sqrt{5})^2 + b(1+\sqrt{5})+c=0$$

Pero por encima de tren de pensamiento, si se sustituyen $\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ a lo largo del cálculo, todo lo que aún debe trabajar de la misma. Puesto que usted está asumiendo que $a,b,c$ son racionales, entonces no tienen nada de $\sqrt{5}$, así que no hay nada que reemplace, y parece que

$$a(1-\sqrt{5})^2 + b(1-\sqrt{5}) + c = 0$$

Por lo $1-\sqrt{5}$ es también una raíz.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Por debajo de, cualquier polinomio con racional de los coeficientes de tener root $\,w = 1+\sqrt{3}\,$ también debe tener como raíz de su conjugado $\,\bar w = 1-\sqrt{3}.$

Idea clave $\ $ Conjugación $\rm\:w=a+b\sqrt{3}\,\mapsto\, \bar w = a-b\sqrt{3}\in \Bbb Q(\sqrt3)\:$ preserva $\rm\:\color{#c00}{sums\,\ \&\,\ products}.\:$ Más, este mapa $\rm\:\color{#0a0}{fixes\ rationals}\in\color{#0a0}{\Bbb Q}.\:$ por lo Tanto, por inducción, se conserva polinomios $\rm\ \overline{f(w)} = f(\overline w),\ \ f(x)\in\color{#0a0}{\Bbb Q}[x],\ $ tener todos los $\,\rm\color{#0a0}{rational}$ coeficientes, ya que dichos polinomios son composiciones de dichas operaciones básicas. $ $ Más explícitamente $$ \begin{eqnarray} \rm \overline{f(w)}\: &=&\rm\ \ \overline{a_n w^n +\,\cdots + a_1 w + a_0}\\ &=&\rm\,\ \overline{a_n w^n}\, +\,\cdots + \overline{a_1 w} + \overline a_0\quad by\ \ \ \color{#c00}{\overline{x+y}\, =\, \overline x + \overline y}\ \ \ \forall\ x,y \in \Bbb Q(\sqrt3)\\ &=&\rm\,\ \overline a_n\, \overline w^n+\,\cdots + \overline a_1\overline w + \overline a_0\quad by\ \ \ \color{#c00}{\overline{x\, *\, y}\, =\, \overline x\, *\, \overline y}\ \ \forall\ x,y \in \Bbb Q(\sqrt3) \\ &=&\rm\,\ a_n\, \overline w^n + \,\cdots + a_1 \overline w + a_0\quad by\ \ \ \color{#0a0}{\overline a = a}\ \ \forall\ \color{#0a0}a\in \color{#0a0}{\Bbb Q}\\ &=&\rm\ f(\overline w)\\ \rm\!\! So\ \ 0 = f(w)\! \ \Rightarrow\ 0 = \bar 0 = \overline{f(w)}\:& =&\ \rm f(\overline w),\ \ i.e.\ \ w\ root\ of\ f\,\Rightarrow\, \overline w\ root\ of\ f.\quad {\bf QED} \end{eqnarray}$$

Esto por lo general no si $\rm\,f\,$ ha irracional de los coeficientes, por ejemplo, $\rm\,\bar w\,$ es una raíz de $\rm\,x\!-\!w\,$ fib $\rm\,\bar w = w,\,$ es decir $\rm\,w\in \Bbb Q.$

Comentario $\ $ El análogo polinomio preservación de la propiedad es verdadera para cualquier estructura algebraica, es decir, desde homomorphisms preservar las operaciones básicas (incluyendo constantes = $0$-ary operaciones), también de preservar el "polinomio" términos compuesto de estas operaciones básicas. Dijo, equivalentemente, hom conmuta con polinomios.

Answer 3

Considerar fórmulas de Viète para los coeficientes de un polinomio en términos de sus raíces. En este caso, si usted tiene $p(x) = (x - \alpha) (x - \beta) = x^2 - a x + b$, entonces: $ a = \alpha + \beta \ b = \alpha \beta $$ si ambos % son racionales, con $a$ $b$y $\alpha = 1 + \sqrt{3}$, debe ser que $\beta = c - \sqrt{3}$ $c$ racional. Entonces: $$ b = \alpha \beta = (1 + \sqrt{3}) (c - \sqrt{3}) = c + (c - 1) \sqrt{3} + 3 $$ para este ser racional, $c = 1$.

Answer 4

Si $1+\sqrt{3}$ y $r$ son las raíces de la ecuación, entonces su suma $r + 1 + \sqrt{3}$ debe ser racional. Así $r=a-\sqrt{3}$ $a$ racional. Asimismo, puede utilizar el hecho de que su producto es racional concluir que $a$ deben ser $1$.