Problema de aritmética de la serie

Question

Dada la progresión aritmética de $\left{a_n\right}$ $a1=2$, $a{n+1}=an+2n$ $\left(n\:\ge \:1\right)$. $a{50}=?$

Lo que hice: $$a_n+d=an+2n$ $ $$d=2n$ $ $$a{50}=2+d\left(n-1\right)$ $ $$a{50}=2+2\left(n^2-n\right)$ $ $$a{50}=2+2\cdot 2450$ $ $$a_{50}=4902$ $

Pero esto es erróneo. Respuestas:

$$A=2452,\:B=2450,\:C=2552,\:D=2500$$

Answer 1

\begin{align}a1&=2\a{n+1}&=an+2n\&=a{n-1}+2[n+(n-1)]\&=a_{n-2}+2[n+(n-1)+(n-2)]\ &= \ldots\ &=a_1+2[n+(n-1)+\ldots +1]\end {Alinee el}

Por lo tanto\begin{align}a_{50}&=a_1+2(49+\ldots + 1)\&=2+2\cdot \frac{49(50)}{2}\&=2+49(50)\&=2+(50-1)(50)\&=2+2500-50\&=2452 \end {Alinee el}

Observación:

Esto no es un AP, si es un AP, la diferencia entre términos consecutivos es una constante.

Answer 2

Resumiendo la expresiones $a_{n+1} = an + 2n$ $n = 1, \dots, k$ uno fácilmente consigue que a$ {k+1} = a1 + \sum{i=1}^k 2i = 2 + k(k+1) $$

Por lo tanto, $a_{50} = 2 + 2450 = 2452$ y la respuesta correcta es A.

Answer 3

Por otra parte, tenga en cuenta: $a_{n+1}-a_n=2n$. Entonces: $$\begin{align} a_2-a_1&=2\cdot 1\ a_3-a_2&=2\cdot 2\ a_4-a3&=2\cdot 3\ &\vdots \ a{50}-a{49}&=2\cdot 49 \end {Alinee el} $$ suma todos (telescopio de exámenes parciales): $$ a {50}-a1 = 2 (1 +2 +3 + \cdots +49) \Rightarrow \ a {50} = a_1 +2\cdot \frac{1+49}{2}\cdot 49 = 2 +2450 = 2452. $$