Aplicación de la desigualdad de Chebyschev

Question

Quiero demostrar la desigualdad anterior. En los extremos tenemos una clara aplicación de AM-GM, y quiero usar la desigualdad de chebyschev para el

Mi intento:

Dado que la desigualdad de Chebyschevs es

Podemos elevar al cuadrado el lado izquierdo de nuestra desigualdad con el término de su derecha para obtener

$$\frac{a+b+c}{3}\cdot \frac{a+b+c}{3}\geq \frac{ca+b^2+ca}{3}$$

Mi problema

Me hubiera gustado conseguir $\dfrac{ab+bc+ca}{3}$ a la derecha. ¿He aplicado mal la desigualdad, o se deduce que $\dfrac{ab+bc+ca}{3}$ es menor o igual que $\dfrac{a+b+c}{3}\cdot \dfrac{a+b+c}{3}$ ?

Answer 1

En primer lugar, su desigualdad es errónea.

Pruebe $a=1$ , $b=-1$ y $c=0$ .

Para los no negativos $a$ , $b$ y $c$ vemos que $(a,b,c)$ y $(a,b,c)$ son los mismos ordenados.

Esto, por Chebyshov obtenemos: $$3(a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c)\geq(a+b+c)(a+b+c)$$ o $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$$ o $$3(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc))\geq(a+b+c)^2+2(ab+ac+bc)$$ o $$(a+b+c)^2\geq3(ab+ac+bc)$$ o $$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt{\frac{ab+ac+bc}{3}}.$$ Por el mismo camino obtenemos: $$3(ab\cdot ab+ac\cdot ac+bc\cdot bc)\geq (ab+ac+bc)(ab+ac+bc)$$ o $$3(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\geq(ab+ac+bc)^2$$ o $$(ab+ac+bc)^2\geq3abc(a+b+c).$$ Ahora, $(ab,ac,bc)$ y $(c,b,a)$ están ordenados de forma opuesta.

Así, por Chebyshov de nuevo obtenemos: $$(ab+ac+bc)^3\geq3abc(a+b+c)(ab+ac+bc)=3abc(c+b+a)(ab+ac+bc)\geq$$ $$\geq3abc\cdot3(c\cdot ab+b\cdot ac+a\cdot bc)=27a^2b^2c^2,$$ que da $$\sqrt{\frac{ab+ac+bc}{3}}\geq\sqrt[3]{abc}.$$

Answer 2

Como han señalado aquí el uso de la desigualdad de Chebyshev no ayuda mucho. Sin embargo podemos hacer uso de la desigualdad AM-GM.

Elevando al cuadrado ambos lados y expandiéndolos obtenemos que la desigualdad es equivalente a: $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ lo que equivale a $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ .

La última igualdad es cierta, ya que tenemos que $a^2 + b^2 \ge 2ab$ , $b^2 + c^2 \ge 2bc$ y $c^2 + a^2 \ge 2ac$ . Suma las desigualdades para obtener la respuesta final.