Aplicar el mismo argumento como por 7 puntos (a partir de la pregunta de la declaración y Ross Millikan comentario), excepto asegúrese de sacar los 6 sectores de tal manera que uno de los 3 límite de diámetros contiene uno de los 6 puntos. Es decir, sacar los 6 sectores después de conocer los puntos, de tal manera que uno de los puntos, decir $P_1$, se encuentra en uno de los límites.
Si todos los puntos que están en cualquiera de los dos vecinos de los sectores a $P_1$, que son en la distancia$\le 1$$P_1$. Si no, por el principio del palomar, uno de los 4 otros sectores contiene 2 de los 5 puntos. Y esos dos puntos están a una distancia de más de 1 de cada uno de los otros. Así que hemos terminado.
Nota: no estoy seguro de cómo limpiamente demostrar el hecho de que dos puntos en un $\pi/3$-sector están a una distancia de más de 1 aparte. Tengo una forma que creo que funciona usando la ley de cosenos, pero parece periférica a la pregunta y un bastante poco elegante argumento, de modo que no se incluye por ahora.
EDIT: Re:tu comentario OP, sí, yo también no tienen una buena forma para hacer plenamente convincente/limpiar la intuición de que no hay 2 puntos en un sector de la distancia de $> 1$.
Aquí está el patán de la ley de los cosenos manera mencionado que muestra que dos puntos en un sector de la distancia de $\le 1$:
Estamos dados dos puntos $P_1$ $P_2$ $\pi/3$sector. Dicen que los dos puntos están a una distancia $r_1$$r_2$, respectivamente, desde el centro. Deje que el ángulo central entre ellos se $\theta \le \pi/3$.
Por la ley de los cosenos, el cuadrado de la distancia entre el $P_1$ $P_2$ es
$$d(P_1, P_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta \le r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2(\frac{1}{2}) = r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2$$
debido a $r_1, r_2 \ge 0$$0 \le \theta \le \pi/3$.
Ahora tenemos que mostrar $r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2 \le 1$$0 \le r_1, r_2, \le 1$.
Hay, probablemente, una mejor manera de proceder también aquí, pero aquí tenemos un argumento: tenemos $r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2 = (r_1 - \frac{1}{2}r_2)^2 + \frac{3}{4}r_2^2$.
Con $0 \le r_1, r_2, \le 1$, fija $r_2$, esta expresión se maximiza cuando se $r_1 = 1$ (desde $r_1=1$ maximiza $|r_1 - \frac{1}{2}r_2|$ por cada $0 \le r_2 \le 1$, de forma exclusiva, excepto en $r_2=1$ al $r_1=0$ es también un maximizer).
Así, por $0 \le r_1, r_2, \le 1$,
$$r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2 = \left(r_1 - \frac{1}{2}r_2\right)^2 + \frac{3}{4}r_2^2 \le \left(1 - \frac{1}{2}r_2\right)^2 + \frac{3}{4}r_2^2 \\= 1 - r_2 + r_2^2 = \left(r_2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \le \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$
(máximo alcanzado en $r_2 = 0$ o $r_2=1$ al $r_1 = 1$).
