Ejercicio Hartshorne II. 1.18

Question

El ejercicio 1.18 del capítulo II pide demostrar que dado un mapa de espacios topológicos $f:X\to Y$ los funtores $f_* : \mathsf{Sh}_Y \longrightarrow\mathsf{Sh}_X$ y $ f^{-1}: \mathsf{Sh}_X\longrightarrow \mathsf{Sh}_Y$ son adyacentes. La sugerencia es definir la unidad y el conit y luego comprobar que satisfacen las ecuaciones habituales. Ahora he definido la unidad y el conit, y quiero comprobar que si $\mathscr G$ es una gavilla en $Y$ entonces

$$\varepsilon_{f^{-1}\mathscr G}\circ f^{-1}(\eta_\mathscr G) : f^{-1}\mathscr G\to f^{-1}f_*f^{-1}\mathscr G\to f^{-1}\mathscr G$$

es la identidad, y de forma similar para las láminas sobre $X$ . Esto es un poco engorroso, y la única idea que se me ocurre para obviar esto es quizás mirar los mapas en los tallos, que creo que se ven fácilmente para ser la identidad por cómo $f_*$ , $f^{-1}$ y se definen la unidad y el conejo. ¿Es esto suficiente? Si no es así, ¿cuál es la forma "correcta" de proceder en este caso?

Answer 1

Sí: para demostrar que dos morfismos de gavillas son iguales, basta con demostrar que inducen los mismos mapas en cada tallo. De forma explícita, supongamos que $F$ y $G$ son gavillas en un espacio $X$ y $a,b:F\to G$ son morfismos que no son iguales. Entonces hay algún abierto $U\subseteq X$ y algunos $s\in F(U)$ tal que $a(s)\neq b(s)$ . Como una sección de una gavilla está determinada por sus gérmenes en cada tallo, $a(s)\neq b(s)$ significa que existe algún $x\in U$ tal que $a(s)_x\neq b(s)_x$ en $G_x$ . Pero $a(s)_x=a_x(s_x)$ y $b(s)_s=b_x(s_x)$ , por lo que esto demuestra que $a_x\neq b_x$ . Es decir, hay algún tallo en el que $a$ y $b$ no son iguales.