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Encontrar el límite $\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{k=1}^n k^n}{n^n}$.

Ahora quiero encontrar el % de límite $$\lim{n\to\infty}\frac{\sum\limits{k=1}^n k^n}{n^n}.$$ que intentan usar el teorema de Stolz como sigue: $$ \lim{n\to \infty}\frac{\sum{k=1}^n k ^ n} {n ^ n} = \lim{n\to \infty}\frac{\sum{k=1}^{n+1} k ^ {n+1}-\sum {k = 1} ^ n k ^ n} {(n+1) ^ {n+1}-n ^ n} $$ $$=\lim{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}+\sum{k=1}^n(k^{n+1}-k^n)}{(n+1)^{n+1}-n^n}$ $ $$=1+\lim{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n(k^{n+1}-k^n)}{(n+1)^{n+1}}.$ $ parece ocuparse de la adición como de esta forma: %#% $ #% no tengo manera para tratar esta suma, cualquier ayuda y sugerencia será bienvenida!

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HappyEngineer Puntos 111

Sugerencia: para$k,$$$\frac{(n-k)^n}{n^n}=\left(1-\frac{k}n\right)^n\to e^{-k}$% $ fijo


Detalles:

Tenga en cuenta que para$k=0...,n-1$$$\log\left(1-\frac{k}{n}\right)=-\frac{k}{n}-\frac{k^2}{2n^2}-\cdots\leq -\frac{k}{n}$ $

Entonces$$\left(1-\frac{k}{n}\right)^n \leq e^{-k}$ $

Luego aplique el teorema de convergencia dominado definiendo:

ps

Entonces$$f_n(k)=\begin{cases}0 & k\geq n\\ \left(1-\frac{k}{n}\right)^n& 0\leq k<n\end{cases}$ y para cualquier$|f_n(k)|\leq g(k)=e^{-k}$$k,$

10voto

gimusi Puntos 1255

Tenemos que

$$\frac{\sum\limits_{k=1}^n k^n}{n^n}=\sum_{k=1}^n \left( \frac k n \right)^n=\sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac {n-k} n \right)^n=\sum_{k=0}^{n-1} \left( 1-\frac {k} n \right)^n$$

luego, siguiendo la sugerencia dada por ComplexYetTrivial, vamos a considerar

$$a_n=\sum_{\substack{k=0 \\ k<n}}^{\infty} \left( 1-\frac {k} n \right)^n$$

que es estrictamente creciente y acotada, de hecho, por AM-GM hemos

  • $\sqrt[n+1]{\left(1-\frac{k}{n}\right)^n \cdot 1} \leq \frac{n \left(1 - \frac{k}{n}\right) + 1}{n+1} = 1 - \frac{k}{n+1} $

y

  • $\left( 1-\frac {k} n \right)^n=e^{n\log \left( 1-\frac {k} n \right)}=e^{n \left( -\frac {k} {n}-\frac {k^2} {2n^2}-\frac {k^3} {3n^3}-\ldots \right)}\le e^{-k}$

por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona $a_n$ tiene límite finito y ya para $k$ fijo

  • $\left( 1-\frac {k} n \right)^n\to e^{-k}$

tenemos

$$\lim_{n\to \infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^n k^n}{n^n}=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( 1-\frac {k} n \right)^n=\lim_{n\to \infty} \sum_{\substack{k=0 \\ k<n}}^{\infty} \left( 1-\frac {k} n \right)^n=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-k}=\frac{e}{e-1}$$

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