Puntos de acumulación de $ \{x_n \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \ \ | \ x_n = n\sin(n) \}$ ?

Question

Me preguntó un alumno más joven:

¿Cuáles son los puntos de acumulación del siguiente conjunto?

$$ \{x_n \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \ \ | \ x_n = n\sin(n) \}$$

Realmente no puedo responder a esta pregunta, ¿alguien podría ayudarme?

Answer 1

El medida de irracionalidad $\mu(\pi)$ de $\pi$ no se conoce mejor que $2\le\mu(\pi)\le7.6063$ parece. Si sabíamos $\mu(\pi)>2$ entonces hay infinitas fracciones con $\left|\frac ab-\pi\right|<\frac1{b^\kappa}$ para algunos $\kappa>2$ . Entonces $|\sin a\|<|a-b\pi|<\frac 1{b^{\kappa-1}}$ y así $|a\sin a|$ se vuelve arbitrariamente pequeño, haciendo que $0$ un punto de acumulación. Por desgracia, sólo puedo confirmar que $\left|\frac ab-\pi\right|<\frac c{b^2}$ para infinitas fracciones, lo que resulta en infinitas $n$ con $|n\sin n|<c\pi$ . Así que al menos algunos existe un punto de acumulación.

Answer 2

Dejemos que $E=\{n\sin n:n\in\mathbb{N}\}$ . Para empezar, demostremos que una vecindad bastante grande del origen pertenece a $\bar{E}$ (el cierre de $E$ ). Por Teorema de Hurwitz hay un número infinito de números racionales $\frac{p_n}{q_n}$ tal que: $$ \left|\pi-\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{\sqrt{5} q_n^2}, $$ así que $\left|\pi q_n-p_n\right|<\frac{1}{q_n\sqrt{5}}$ y: $$\begin{eqnarray*} p_n \sin p_n &=& p_n \left(\sin(\pi q_n)-\cos(\pi q_n)\cdot|\pi q_n-p_n|+O\left(\frac{1}{q_n^2}\right)\right)\\&=& p_n (-1)^{q_n}|\pi q_n-p_n|+O\left(\frac{1}{q_n}\right)\end{eqnarray*}$$ por lo que hay un número infinito de elementos de $E$ en el intervalo $I=\left(-\frac{\pi}{\sqrt{5}},\frac{\pi}{\sqrt{5}}\right)$ .

Suponiendo que un número infinito de $q_n$ s es impar (siempre verdadero) y un número infinito de $q_n$ s es par (parece razonable), evaluando $n\sin n$ en $p_n+p_m$ tenemos que ambos $(E-E)$ y $(E+E)$ son densos en $E$ .

Recordando el lema por el cual un conjunto infinito de puntos de un intervalo cerrado por diferencia es denso en el intervalo, resulta que $E$ es denso en $\mathbb{R}$ .