Original del problema: supongamos que un grupo de $G$ ha irreductible complejo de representaciones de las dimensiones de $1,1,2,3$, e $d$. Encontrar $d$.
El uso de algunos conceptos básicos de la dimensión de conteo, nos pondremos $d=3$ o $d=15$. El objetivo es eliminar a $d=15$.
Si $d=15$,$|G|=1^2+1^2+2^2+3^2+15^2=240$. Desde $G$ dos $1$-dimensiones irreductibles representaciones, $[G:G']=2$, e $G'$ es normal. Por lo tanto $G'$ es una unión de clases conjugacy. Pero $G'$ tiene elementos de orden $1$, $2$, $3$, y $5$, por lo que contiene, al menos, $4$ clases conjugacy. La única posibilidad es que $G\setminus G'$ es de una sola clase conjugacy de orden $120$.
En este punto, me está volviendo loco que no puedo encontrar lo más fácil contradicción. Parece absurdo que $G$ puede tener $240$ elementos con la mitad de ellos en una sola clase conjugacy. He incluido una solución que he encontrado que me siento cómodo con el, pero lo que me parece un poco complicada para mí.
Solución: Para cualquier $x\in G\setminus G'$, el centralizador $C_G(x)$ orden $2$, lo $x^2=1$. A continuación, $C_G(x)$ se extiende a un Sylow $2$ subgrupo $P$. El centro de $P$, $Z(P)$, es trivial, y $Z(P)\subseteq C_G(x)$, lo $C_G(x)=Z(P)$. Pero si $x$ es central en $P$,$|C_G(x)|\ge |P|=16$.
