¿Puedes demostrar la regla de la potencia para exponentes irracionales sin invocar $e$ ?

Question

La regla de la potencia establece que para cualquier número real $r$ ,

$$\frac{d}{dx}x^r=rx^{r-1}$$

Ahora bien, una forma común de demostrar esto es utilizar la definición $x^r=e^{r\ln x}$ donde $e^x$ se define como la función inversa de $\ln x$ que a su vez se define como $\int_1^x\frac{dt}{t}$ .

Pero esto pone el carro delante de los bueyes, porque los estudiantes suelen aprender el cálculo diferencial antes que el integral. Y hay una definición perfectamente buena de exponenciación de números reales que no depende del cálculo integral:

$$x^r=\lim_{q\rightarrow r} x^q$$

donde $q$ es una variable que abarca los números racionales.

Así que mi pregunta es, si usamos esta definición, y damos por sentado que $\frac{d}{dx}x^q=qx^{q-1}$ es válida para los números racionales (lo que puede demostrarse fácilmente sin invocar $e$ ), entonces podemos demostrar la regla de potencias para exponentes reales sin invocar $e$ ?

EDIT: He aquí una formulación más precisa de la definición anterior. Si $r$ es un número real, decimos que $x^r = L$ si para cualquier $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para cualquier número racional $q$ tal que $|q-x| < \delta$ tenemos $|x^q-L|<\epsilon$ .

Answer 1

Sí. En general, si tiene una secuencia de $C^1$ funciones $f_n$ en algún intervalo y funciones $f$ y $g$ tal que $f_n\to f$ puntualmente y $f_n'\to g$ uniformemente, entonces $f'=g$ . (Un rápido esbozo de cómo demostrar esto sin utilizar la integración: fijar $x$ y $h$ y elige $n$ para que $f_n$ está suficientemente cerca de $f$ en $x$ y $x+h$ y $f_n'$ está suficientemente cerca de $g$ uniformemente. Entonces $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ estará cerca de $\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}$ . Por el teorema del valor medio este último es igual a $f_n'(y)$ para algunos $y$ entre $x+h$ y $x$ y $f_n'(y)$ está cerca de $g(y)$ . Por último, si $h$ es suficientemente pequeño, $g(y)$ estará cerca de $g(x)$ desde $g$ es continua).

Por lo tanto, dado $r\in\mathbb{R}$ elige una secuencia de números racionales $q_n$ convergiendo hacia $r$ y que $f_n(x)=x^{q_n}$ . Entonces $f_n(x)$ converge a $f(x)=x^r$ y $f_n'(x)=q_nx^{q_n-1}$ converge a $g(x)=rx^{r-1}$ . Además, no es difícil comprobar que estas convergencias son uniformes en cualquier subconjunto compacto de $(0,\infty)$ . De ello se deduce que $f'=g$ en $(0,\infty)$ .

Answer 2

Pista:

$$x^r:=\lim_{q\to r,\\q\in\mathbb Q}x^q.$$

Entonces

$$(x^r)'=\lim_{h\to0}\frac{\lim_{q\to r,\\q\in\mathbb Q}((x+h)^q-x^q)}{h}=\lim_{q\to r,\\q\in\mathbb Q}\lim_{h\to0}\frac{((x+h)^q-x^q)}{h}=\lim_{q\to r,\\q\in\mathbb Q}qx^{q-1}=rx^{r-1}.$$

Lo difícil es justificar el canje de los límites.