El gráfico infinito es plano si puede incrustarse en una esfera

Question

Mi pregunta es acerca de la siguiente declaración acerca de grafos planares:

Un grafo es planar (es decir que puede ser incrustado en el plano) si y sólo si puede ser incorporado en la esfera de la $S^2$.

Por una incrustación nos referimos a los siguientes:

Para cada vértice $v \in V$ le asocia un único punto en $\mathbb{R}^2$(o $S^2$). A cada borde de la $e \in G$ le asocia un único arco simple, que es un homeomórficos imagen de $[0,1]$, conectando los puntos asociados a su fin vértices tal que no hay dos arcos que se cruzan en un vértice común punto.

"Sólo si" la parte de la declaración anterior de la siguiente manera directa mediante la proyección estereográfica, lo que da una incrustación $\mathbb{R}^2 \hookrightarrow S^2$. Para el "si" de la parte, en cada prueba me parece uno simplemente dice que en una incrustación de un gráfico en $S^2$, siempre se puede evitar un punto y por lo tanto puede utilizar la proyección estereográfica de nuevo para conseguir la integración en $\mathbb{R}^2$.

Veo que este hecho sea verdadero para grafos finitos, como integrado en el gráfico es sólo el bijective imagen continua de un número finito de intervalos pegados juntos de alguna manera (que es un espacio compacto), por lo que si la imagen era la $S^2$, tendríamos un homeomorphism entre el $S^2$ y algo que no es $S^2$.

Pero, ¿qué acerca de la infinita gráficos? Hasta donde yo sé, un gráfico definido para ser una tupla $(V,E)$ donde $V$ es un conjunto (de los vértices) y $E$ es un conjunto que consta de unos 2-elemento de subconjuntos de a $V$. Por lo $V$ puede ser, básicamente, cualquier cosa, así que yo podría, por ejemplo, acaba de tomar $V = S^2$ (en conjunto), o cualquier otro (innumerables) conjunto infinito. En este caso, ¿cómo puedo garantizar que en un dibujo de la gráfica de $S^2$ todavía puedo evitar un momento? O es que esta declaración no es cierto incluso para el infinito gráficos?

Answer 1

En cuanto a los comentarios sobre "topológico de la incrustación de' vs inmerso realización: Un 'topológico gráfico" en todas las definiciones estándar, incluso para el infinito gráficos, define un espacio tridimensional (en el sentido de que cubre dim, ind o Ind). Por lo tanto, como una dimensión subconjunto de una superficie (la esfera) no contiene ningún conjunto abierto, por el resultado estándar en la dimensión de la teoría de que el abierto 2-ball tiene dimensión dos y el resultado de esa dimensión es no creciente de los subconjuntos de separables métrica espacios. Por lo tanto se echa de menos un punto de la esfera, a las que se supone para ser el polo norte. Luego de la proyección estereográfica es una incrustación de la gráfica en el plano.

La pregunta general también tiene una respuesta positiva. Esto es suficiente para mostrar que incluso si una combinatoria de inmersión cubre la esfera, es combinatoria equivalente a uno que no. Deje $v \in V$. Si $V$ combinatoria sumerge en la esfera tenemos que $E(v)$ tiene la cardinalidad del continuo en la mayoría, donde los $E(v)$ es el conjunto de aristas que contiene $v$ como una coordenada. Por lo tanto $E(v)$ puede ser combinatoria inmerso en el Cantor del Ventilador. Si $G$ es combinatoria inmerso en la esfera, y luego considerar la esfera con un cerrado disco eliminado. Este es homeomórficos a la esfera perforado por $v$. Entonces podemos dibujar en el Cantor del Ventilador en este extirpados barrio de conexión según sea necesario y lograr que al menos en una vecindad de un punto de $G$ tenemos que la combinatoria equivalente de la imagen de la inmersión es en más de una dimensión. No es un problema menor acerca de bobinado hacia un círculo frente a un punto, pero todos los rayos convergen en $v$ se tiene que tener el mismo bobinado y puede ser desenroscado' simultáneamente. Voy a dejar los detalles para que poco. El resultado de la siguiente manera.

Nota sin embargo que esto no necesariamente te da un mapa continuo de los extremos del Cantor del Ventilador sobre el límite del círculo de la extirpados barrio. De hecho, será imposible obtener una función continua en algunos casos, desde continuo de los mapas del conjunto de Cantor en el círculo son necesariamente al menos $2$a-$1$. Así que usted tendrá que hacer su inmersión en el ventilador en una situación complicada y delicada.

Editar una vez más: en Realidad, yo preocuparse acerca de cómo utilizar el Cantor del Ventilador, por razones pedagógicas. Deje que nosotros en lugar de utilizar un disco con un semi-abierta de la media luna eliminado, una esquina en $v$ y uno en el límite. Entonces tenemos una foliación que bijects con el límite del círculo de la extirpados barrio de una forma trivial. Estoy dejando mi primera mala idea darle una nueva pregunta: ¿Qué condiciones de garantizar que no siempre existe un vértice en el Cantor del Ventilador es suficiente y puede ser sumergido, como en el anterior, pero de forma continua? Me pregunto, porque si no, tendrá todos los vértices de cuyos barrios de los arcos son muy grasa, y la compacidad puede smush algunos de estos "barrios" juntos en formas que la fuerza de algunos de los puntos a comportarse trivialmente. Aunque usted puede pensar acerca de la Ama de la Cuenca del escenario donde el smushing no es útil. Si usted permite que multigraphs, luego de una foliación por los grandes círculos a través de dos antípodas no permite esta construcción.