¿Cuál es la definición de "canónica"?

Question

Lo vi por primera vez mientras estudiaba sobre espacios duales. Un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual. He estado buscando durante un tiempo en libros un poco más avanzados en temas como estructuras algebraicas, teoría de categorías y teoría de la representación para encontrar una definición formal. Usan MUCHO la palabra "canónico", pero no pude ver ningún registro de ella en ninguno de esos libros. ¿Cómo es tan "difícil" para el escritor definir la palabra que usó tanto? Quiero decir, probablemente puedas encontrar cualquier definición que quieras en un libro solo encontrando la primera vez que se usó, esta será probablemente la definición. ¿Por qué es tan cómodo usar tanto la palabra "canónico" sin ninguna definición formal?

Answer 1

"Canonical" es un término informal que se usa a menudo en matemáticas. A veces significa que tú y tu vecino llegarían al mismo mapa. A veces significa que no utiliza ninguna elección. A veces significa que sí utiliza alguna elección pero es independiente de dicha elección.

Answer 2

La única definición de "canónica" es cuando la usamos para significar "natural". Aunque ambas palabras a veces se utilizan coloquialmente, una transformación natural tiene una definición real.

Por ejemplo, un espacio vectorial (de dimensión finita) $V$ es naturalmente isomorfo a su doble dual $V^{**}$ a través de la aplicación $v\mapsto \hat v$, donde $\hat v\colon V^*\to \Bbb F$ es la aplicación de evaluación $\hat v(f)=f(v)$. Podemos demostrar que esto es natural en el sentido de que el siguiente diagrama conmuta:

\begin{array}{ccc} V & \overset{f}\rightarrow & W\\ \downarrow & & \downarrow\\ V^{**} & \overset{f^{**}}\rightarrow & W^{**} \end{array}

Si $V$ es de dimensión finita, entonces $V$ también es isomorfo a $V^*$, pero no hay un isomorfismo natural $V\tilde\to V^*$.

Answer 3

Esta es una extrapolación sobre el comentario de Randall.

En los libros de matemáticas, siempre se utilizan dos lenguajes: el lenguaje matemático, definiendo rigurosamente sus objetos, y el inglés/francés/italiano/lo que sea, dando contexto y materia al lector. Los humanos no son verificadores de tipos, también necesitan incentivos para entender lo que otro matemático quiere transmitir.

"Canónico", en "isomorfismo canónico", no está definido porque es parte del lenguaje común en el que está escrito el libro. La palabra se utiliza para que el lector comprenda las nociones en juego, no como una construcción matemática. Es un incentivo para que el lector reconozca la importancia y obviedad del isomorfismo.

Si has leído algo de teoría de categorías, probablemente hayas encontrado "functor olvidadizo" sin definición: la parte matemática es "functor", la palabra "olvidadizo" solo le da al lector algo en qué apoyarse, algo que facilita su comprensión del functor en juego. (Para ser completamente justos, algunos autores a veces definen functores olvidadizos como functores fieles que tienen un adjunto izquierdo, pero aún así deja fuera functores que aún quieres pensar como "olvidadizos".)

Otro ejemplo es "trivial". Cuando un autor escribe "la prueba es trivial", no significa que haya un predicado $\mathsf{triv}(x)$ en las pruebas formales y que esta prueba precisa valide ese predicado. Simplemente significa: haz la prueba, es fácil para el lector que puede seguir hasta aquí. Nuevamente, es un incentivo para el lector, mucho más convincente que "la prueba existe".

En resumen, si fueras a escribir todo el libro en un entorno formal (digamos Coq), "canónico" no se traduciría, solo usarías la definición del isomorfismo para referirte a él. Porque los sistemas formales no responden a incentivos, nosotros sí.

Answer 4

Cuando tienes una clase de equivalencia de objetos, "canónico" se refiere a tu favorito o al elemento más obvio de la clase de equivalencia para llamar a la clase. Por ejemplo, con las clases de equivalencia utilizadas para definir los números racionales, el elemento canónico es la fracción en forma reducida, es decir, $\frac{1}{2}$ en lugar de $\frac{2}{4}$. Podríamos llamar a la fracción por esta última, pero no es tan "natural". Otro ejemplo es denotar las clases de equivalencia de matrices por su forma escalonada reducida por filas. Y así sucesivamente...

Answer 5

Significado canónico explicado en los campos de matemáticas e informática

En matemáticas e informática, una forma canónica, normal o estándar de un objeto matemático es una forma estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática. ... En este contexto, una forma canónica es una representación tal que cada objeto tiene una representación única.