¿Están las funciones elementales de techo y piso?

Question

De acuerdo a la entrada de la Wikipedia sobre las funciones elementales, las funciones trigonométricas y sus inversas son funciones elementales.

No me parece que el piso y el techo funciones deben ser primaria, ya que no parece muy natural. Sin embargo, aquí es una expresión de la función del suelo utilizando sólo funciones elementales

$$ \text{floor}(x) = (x - 0.5)-\frac{\arctan(\tan(\pi(x-0.5)))}{\pi} $$

Como se señala más adelante, esta función no definida para los números enteros.

Aquí está una parcela de esta función a través Desmo. Soy consciente de que esto no es una prueba de esta identidad, y que esta identidad depende de la elección del rango de $\arctan$. Sin embargo, dado que el $\arctan$ fue catalogado como una función primaria en la entrada de la Wikipedia, yo supuse que esto era independiente de la elección de la gama.

Hay algo que me estoy perdiendo aquí? O es baja, y por lo tanto, el techo y el modulo todas las funciones elementales?

Answer 1

No. Todos los "básicos" de funciones elementales (funciones trigonométricas, exponenciales, etc.) son continuas en cada punto de su dominio, y las operaciones de adición, multiplicación y composición de todos preservar la continuidad; de ello se sigue que todas las funciones elementales son continuas en todas partes de su dominio. El piso de la función está definida para todos los números reales, pero es discontinua en los números enteros, por lo que no puede ser primaria. Tenga en cuenta que su función es elemental, y por lo que es continua en su dominio, pero no está definida en los enteros, precisamente donde el piso de la función es discontinua.

Answer 2

Donde los humanos trazan la línea para decidir qué es "elemental" es en última instancia arbitrario, y cualquier discusión suficientemente rigurosa de las funciones elementales probablemente debería aclarar con precisión qué se debe incluir.

Su función seguramente está incluida en cualquier definición sensata. Sin embargo, tenga en cuenta que su función no está definida en los enteros a menos que incluya una definición no estándar de la función tangente en$\frac{2k+1}{2}\pi$.