Como se señaló en los comentarios por DerekHolt, la clave está en Verde del Lema (como se cita en el mencionado libro, en la página 49). Formular, empezamos con un arbitrario semigroup $S$, y definimos las relaciones de equivalencia $\mathcal R$ $\mathcal L$ $S$ mediante el establecimiento de
\begin{align*}
a \mathcal R b & :\Leftrightarrow \{a\} \cup aS = \{ b \} \cup bS, \\
a \mathcal L b & :\Leftrightarrow \{a\} \cup Sa = \{ b \} \cup Sb
\end{align*}
para todos los $a, b \in S$.
Estos son parte de lo que se conoce como Green relaciones.
Entonces tenemos:
(Green Lexema) Si $a \ne b$$a \mathcal R b$$as = b, a = bt$, luego los mapas
$$
x \mapsto xs
\quad \mbox{y} \quad
x \mapsto xt
$$
son mutuamente inversas bijections entre el $\mathcal L$-clases de $a$$b$, los cuales conservan $\mathcal R$-clases. Una similar (dual) relación se mantiene si $a\mathcal L b$.
Prueba: es fácil ver que $\mathcal L$ está a la izquierda de la congruencia y $\mathcal R$ es un derecho de la congruencia. Por lo tanto, si $x\mathcal L a$$xs \mathcal L as$, lo $xs \mathcal L b$ porque $b = as$. Del mismo modo, a la derecha de la multiplicación por $t$ mapas de la $\mathcal L$-clase de $b$ en el de $a$. Así que los dos mapas entre las $\mathcal L$-clases están bien definidos. También, si $x = ua$
$$
xst = uast = ubt = ua = x
$$
y de manera similar a $yts = y$ todos los $y \mathcal L b$, por lo tanto son mutuamente inversas en el correspondiente $\mathcal L$-clases. También, como $\mathcal R$ es un derecho de la congruencia, las imágenes de $\mathcal R$elementos relacionados con la estancia de $\mathcal R$-relacionados, pero más como $x = (xs)t$ $x \mathcal L a$ tenemos $x \mathcal R xs$, por lo que la asignación se mantiene en el mismo $\mathcal R$-clase para todos los elementos de la $\mathcal L$-equivalente a $a$. $\square$
La asunción de la pregunta da que solo tenemos una sola $\mathcal R$-clase y una sola $\mathcal L$-clase. Así que la selección arbitraria $a \ne b$$as = b$$a = bt$, entonces para cada a $x \in S$ por lo anterior hemos
$$
xst = x
$$
dar a ese $e := st$ es idempotente (set $x := e$ anterior) y un derecho de identidad. Además, como las ecuaciones $ux = e$ $xu = e$ tienen solución para cada una de las $u \in S$ debe ser un grupo.
Observación 1: Con más la teoría de que el libro se muestra que todos los no-vacío intersección de una $\mathcal L$-clase y un $\mathcal R$-clase es un grupo.
Observación 2: En el papel de las Intersecciones de la máxima ideales en semigroups por P. Grillet he encontrado
Ideal $I$ es máxima iff $S - I$ $\mathcal J$- clase.
Y la misma prueba de obras en caso de que se haga ideales y $\mathcal R$-clases y de izquierda ideales y $\mathcal L$-clases. Así que si $aS = S \setminus \{a\}$, $aS$ es un derecho ideal es máxima y la $\{a\}$ sería una sola $\mathcal R$-clase, que se excluye. Por lo tanto $aS = S$ todos los $a \in S$. Similar a $Sa = S$ todos los $a \in S$, de modo que $S$ es un grupo. Y el resultado sigue sin Verde del lexema.
