Problema con la definición básica de una línea tangente.

Question

Acabo de empezar a estudiar cálculo por primera vez, y aquí veo algo llamado tangente. Dicen que una tangente es una línea que corta a una curva exactamente en un punto. Pero hay un montón de líneas que pueden cortar el mismo punto como se muestra en la imagen-

¿POR QUÉ no decimos que las líneas M y C también son tangentes?

¿Cuál es la verdadera definición de una línea tangente?

"Una línea tangente es una línea que pasa por dos puntos infinitesimalmente cercanos" ¿Es correcta esta definición? Gracias.

Answer 1

Animaciones que muestran que el límite de un secante a medida que el punto variable tiende hacia un punto fijo se convierte en la línea tangente.

Primero, cuando el punto variable (en rojo) se acerca al punto fijo (en negro) desde abajo:

En segundo lugar, cuando el punto variable se acerca al punto fijo desde arriba:

En ambos casos, la recta secante se convierte en la misma recta tangente. Esto sugiere que la derivada está bien definida en el punto negro (que se resalta en verde cuando se produce la tangencia).

Formalmente, entonces, esto nos da una definición de la derivada como sigue. Para una función de valor real $f(x)$ El derivado en $x = a$ es el límite de la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos $$P_a = (a, f(a)), \quad P_b = (b, f(b))$$ como $b$ se acerca a $a$ siempre que exista dicho límite. Como la pendiente es simplemente $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$ entonces tenemos $$f'(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.$$ La ecuación de la recta tangente en el punto $P_a$ es por lo tanto $$y - f(a) = f'(a)(x-a),$$ si la línea no tiene pendiente infinita; en caso contrario $1/f'(a) = 0$ y podemos escribir la ecuación de la recta tangente como $x = a$ .

Answer 2

Esto concuerda con las respuestas de Christian Blatter y Fleablood. La línea tangente a una curva en un punto es, informalmente, la línea que mejor se aproxima al comportamiento de la curva en ese punto . Una línea que cruza la curva en un ángulo no se aproxima bien a la curva, pero una línea que se dirige en la misma dirección que la curva en ese punto sí ofrece una buena aproximación. Como señala Christian, esta línea tangente puede cruzar la curva, como en el caso de $y =x^3$ en $x = 0$ pero en el punto de tangencia, su comportamiento es lo más parecido al de la curva.

Esto es informal, ya que plantea la pregunta de qué significa aproximar la curva. La respuesta es la definición de la derivada. Aproximamos la curva con una línea que pasa no sólo por el punto de interés, sino también por un segundo punto cercano de la curva. A continuación, movemos el segundo punto hacia el primero. En una curva que se comporta bien, cuanto más se acerque el segundo punto al primero, el ángulo de la recta se acercará a un ángulo determinado, que representa la tangente. La derivada es sólo un medio de expresar esta idea con exactitud.

Answer 3

Cuando hablamos de una recta tangente a una curva nos referimos a una recta tangente a la circunferencia correspondiente al radio de curvatura. Esto se debe a que sólo hay tres maneras en que una línea puede interactuar con un círculo:

1. La línea no interseca el círculo.
2. La recta corta el círculo, es decir, se cruza en dos puntos. La llamamos línea secante.
3. La línea interseca el círculo en un punto. Se llama línea tangente.

Para una curva suave, en cualquier punto podemos calcular su curvatura con una circunferencia. La línea tangente a esa circunferencia es la línea tangente a la curva.

Answer 4

Considere una curva $\gamma\subset{\mathbb R}^2$ que pasa por el punto $O=(0,0)$ . ¿Cuándo debemos aceptar la línea $y=0$ como tangente a $\gamma$ en $O$ ? Las condiciones geométricas naturales son que (i) cerca de $O$ la curva $\gamma$ puede describirse mediante una ecuación de la forma $y=f(x)$ con $f$ continua cerca de $0$ y $f(0)=0$ y que (ii) para cualquier $\epsilon>0$ "la curva $\gamma$ se encuentra en última instancia dentro del doble cono $|y|\leq\epsilon|x|$ cuando $x\to 0$ ". Todo esto equivale a decir que $$f'(0)=\lim_{x\to0}{f(x)\over x}=0\ .$$ Esto incluiría los casos $y=x^3$ (aquí $\gamma$ no se queda en un lado de la tangente) así como casos más patológicos como $f(x):=x^2\sin{1\over x}$ pero no $y=|x|$ . En el ejemplo $y=|x|$ la línea $y=0$ es un línea de apoyo del gráfico, pero no una tangente.

Answer 5

Se dice que una tangente es una línea que corta una curva exactamente en un punto.

No, es una línea que toca en un momento dado.

Imagina que la curva es la piel de una parte de tu cuerpo y las líneas en cuestión son cuchillos. La tangente es la que no duele.

Sólo toca la parte sobre la que se encuentra. Por ejemplo, la mano. Puede ser que si tuviera una longitud infinita, podría perforar tu pecho, pero a efectos de la definición, una tangente es un cuchillo muy corto que toca tu cuerpo en algún punto sin perforar la piel.