Permítanme decir inmediatamente que este no es mi rompecabezas. Alguien lo publicó antes, y yo estaba trabajando en él cuando fue borrado. Me parece un rompecabezas excelente, demasiado bueno para ser borrado, así que lo vuelvo a publicar. Si hay una buena razón por la que debería borrar este puzzle, por favor dímelo.
En algún mundo, todos tienen $k\geq1$ pies. Todo el mundo lleva $k$ calcetines idénticos, pero los calcetines varían según la persona. Cada persona puede identificar fácilmente sus propios calcetines. Cuando la gente va al culto, se quita los calcetines y los coloca en un montón común. Al final del servicio, cada persona retira sus calcetines del montón.
Un día, la primera persona en salir tiene prisa, y agarra $k$ calcetines uniformemente al azar. Después, cada persona retira todos sus calcetines del montón y, si le falta alguno, escoge al azar los suficientes para tener uno para cada pie.
¿Cuál es la probabilidad de que la última persona en salir encuentre exactamente $j$ de sus propios calcetines en la pila, para $0\leq j \leq k?$ (Cuando $k=1,$ es el rompecabezas de los asientos de las aerolíneas).
He hecho algunos experimentos mediante simulación por ordenador para pequeñas $n$ y $k,$ y los resultados me llevan a creer que para un determinado $k,$ la respuesta es independiente del número de personas $n\geq2.$ Por supuesto, cuando $n=2$ el rompecabezas es trivial, así que supongo que la respuesta es $$ {{k\choose k-j}{k\choose j}\over{2k\choose k}}, 0\leq j\leq k $$ Sin embargo, no tengo ni idea de cómo probar esto. ¿Alguna idea?
