Integral de $\frac{\sqrt {x}}{x^2+x}$

Question

Estoy tratando de encontrar $$\int_{1/3}^3 \frac{\sqrt{x}}{x^2+x} dx.$$

Utilicé un $u$ sustitución en la que $u = \sqrt{x}$ para obtener $$2 \int_\sqrt{1/3}^\sqrt{3} \frac{u}{u^4+u^2} du.$$

Sustituyendo $u = \tan v$ , obtengo $$2 \int \cot v dv = \left. \ln |\sin v|\right|_{\arctan \sqrt{1/3}}^{\arctan \sqrt 3} = 2\ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)-2\ln(1/2), $$ que está mal. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Tu error está en la primera sustitución. Ha sustituido $dx$ con $2 du$ en lugar de $2u\,du$ . La sustitución, por cierto, hace que la integral sea trivial: \begin{align} \int_{1/3}^3 \frac{\sqrt{x}}{x^2+x} dx&=\int_{1/\sqrt 3}^{\sqrt3}\frac{2u^2}{u^4+u^2}\,du =\int_{1/\sqrt 3}^{\sqrt3}\frac{2}{1+u^2}\,du\\ \ \\ &=2\left.\vphantom\int\arctan u\,\right|_{1/\sqrt3}^{\sqrt3} =2\arctan\sqrt3-2\arctan1/\sqrt3\\ \ \\ &=\frac{2\pi}3-\frac{2\pi}6=\frac\pi3. \end{align}