$n$ th potencia de los miembros de dos grupos

Question

Permita que$G$ sea un grupo con$a,b\in G$ y$a^n=b^n\not=1$. ¿Cuál es la menor propiedad que$G$ debe tener para garantizar que$a=b$?

Answer 1

Si$G$ es finito, entonces gcd ($|G|,n)=1$ lo hará. Por el teorema de Bézout uno puede encontrar números enteros$k, l \in \mathbb{Z}$, tales que$k|G|+ln=1$. Por lo tanto,$a=a^1=a^{k|G|+ln}=a^{ln}=(a^n)^l=(b^n)^l=b^{k|G|+ln}=b$. Aquí estamos usando el hecho de que$g^{|G|}=1$ para todos$g \in G$. Esto se sigue del Teorema de Lagrange.

De manera similar, uno puede probar otra condición ($G$ no necesariamente finita): si both$a$ y$b$ tienen orden finito y estos pedidos son relativamente primos a$n$, entonces$a^n=b^n$ implica$a=b$.