Resolver una ecuación compleja

Question

Resolver la siguiente ecuación $$(4-3i)z^2-25z+31-17i= 0 $ $

Dividiendo entre 4-3i me da $ #% de %#% a $$z^2 \frac{-100z-75zi + 124 + 93i -68i -51i^2}{25}$ $

luego retirar los términos así $$z^2 -4z-3zi + 7+i$ $ y después de eso no puedo conseguir la expansión para trabajar.

¿Me puede ayudar?

Answer 1

A partir de lo que debería tener:

$(z−(2+\frac{3}{2}i))^2 = -7-i + (2+\frac{3}{2}i)^2$.

obtenemos:

$(z−(2+\frac{3}{2}i))^2 = -7-i + (4+6i-\frac{9}{4}) = \frac{-21+20i}{4} = (\frac{2+5i}{2})^2$.

El último paso me obtenidos por adivinación. Si desea una forma sistemática para encontrar la raíz cuadrada de un número complejo si es un cuadrado perfecto (el cuadrado de un racional número complejo) puede utilizar la siguiente técnica.

Dado $(a+bi)^2 = c+di$ donde $a,b,c,d \in \mathbb{R}$:

$a^2-b^2 = c$ $2ab = d$ [comparando las partes real e imaginaria].

Por lo tanto $4 a^2 - 4 a^2 b^2 = 4 a^2 c^2$ $4 a^2 b^2 = d^2$ [multiplicar la primera por $2a^2$ y el cuadrado de la segunda].

Por lo tanto $4 a^4 - 4c a^2 - d^2 = 0$ [sumarlas para obtener una ecuación cuadrática en $a$].

Por lo tanto $(2a^2-c)^2 = c^2+d^2$ [Completar el cuadrado].

Por lo tanto $2a^2-c = \sqrt{c^2+d^2}$ y, por tanto,$a = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}$.

También se $2b^2 = 2a^2 - 2c = \sqrt{c^2+d^2}-c$ y, por tanto,$b = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}$.

[Nota de que las opciones de signo son dependientes, por lo que puede ser mejor utilizar a $b = \frac{d}{2a}$ lugar.]

En el caso anterior, se obtiene:

$\sqrt{-21+20i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{21^2+20^2}-21}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{21^2+20^2}+21}{2}} i \right) = \pm (2+5i)$.

[Aquí he elegido las señales correctamente.]

Answer 2

Aviso, $$(4-3i)z^2-25z+31-17i=0$$ Solving the above quadratic equation for $z $ as follows $$z=\frac{-(-25)\pm\sqrt{(-25)^2-4(4-3i)(31-17i)}}{2(4-3i)}$ $ $$z=\frac{-(-25)\pm\sqrt{(-25)^2-4(4-3i)(31-17i)}}{2(4-3i)}$$ $$z=\frac{(4+3i)(25\pm\sqrt{333+644i})}{2(16+9)}$ $ $$z=\frac{(4+3i)(25\pm\sqrt{333+644i})}{50}$ $ $$z=\frac{(4+3i)\left(25\pm\sqrt{725}\left(\cos \frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)\right)}{50}$$ Where, $ \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{333}{725}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{644}{725}\right)$

Espero que usted puede tomar desde aquí.

Answer 3

Comienza desde lo que tienes

$z^2 -(4+3i)z + 7+i=0$

Asi que

$\Delta=(4+3i)^2-4(7+i)= -21+20i=(2+5i)^2$

Luego puede usar la fórmula para la solución de una ecuación cuadrática para obtener

$z=3+4i\quad $ y$\quad z=1-i$.

Answer 4

$$(4-3i)z^2-25z+31-17i=0\Longleftrightarrow$ $$$(4-3i)((7+i)-(4+3i)z+z^2)=0\Longleftrightarrow$ $$$(4-3i)((7+i)+(-4-3i)z+z^2)=0\Longleftrightarrow$ $$$(7+i)+(-4-3i)z+z^2=0\Longleftrightarrow$ $$$(z+(-3-4i))((-1+i)+z)=0\Longleftrightarrow$ $$$z+(-3-4i)=0 \vee (-1+i)+z=0\Longleftrightarrow$ $$$z=3+4i \vee (-1+i)+z=0\Longleftrightarrow$ $$$z=3+4i \vee z=1-i$ $

Answer 5

Si $z_2−(4+3i)z+7+i=0$

Entonces

$\Delta=(4+3i)2−4(7+i)=−21+20i=(2+5i)2$.

De lo cual se puede usar la fórmula cuadrática para obtener;

$z=3+4i$ y$z=1−i....$