Functor de definición de puntos de un espacio en un sitio

Question

Estoy tratando de encontrar una definición de un espacio inspirado en un sitio que es: (i) verosímil y natural en el contexto general de los sitios (ii) subsume ejemplos comunes.

Deje $(C,J)$ ser un grothendieck sitio y $Sh(C,J)$ el correspondiente gavilla de topos. Deje $P$ ser una propiedad de morfismos en $C$ que contiene todos los isomorphisms y es estable en la composición y pullbacks. El objetivo es definir un espacio como un $J$-gavilla con una cubierta por representable gavillas que la cola, por $P$ morfismos.

Definición 1: Un "buen" $P$-espacio local es una gavilla $F \in Sh(C,J)$ s.t. existe una representable gavilla $h_U$ y un epimorphism $\varphi: h_U \to F$ la satisfacción de las siguientes:

• $\varphi: h_U \to F$ es representable y tiene la propiedad $P$ (es decir, todos pullbacks a representable poleas tienen la propiedad $P$).

Ejemplo 1: Si $C= Aff$, $J=Zariski$ y $P=\text{open immersion}$, obtenemos un esquema.

Ejemplo 2: Si $C=Aff$, $J= \text{etale}$ y $P= \text{etale}$ obtenemos una expresión algebraica de espacio (espero. Divisibilidad condiciones para algebraicas espacios variar, por lo que no estoy tan seguro acerca de los convenios de aquí).

Ejemplo 3: Si $C= \text{CartSp}$, $J = \text{open immersion}$ y $P =C^{k}$ podemos obtener un $C^k$-colector.

Aquí está el wierd parte. De la anterior definición (aunque bastante natural) sólo nos da una subcategoría de "agradable"/esquemas algebraica de los espacios.

Pregunta 1: ¿Qué subcategoría de los esquemas de hace Ejemplo 1 correpond? Si se me requiere que la cubre ser finito, co-productos de afín esquema obtengo qcqs esquemas?

Para obtener la categoría de esquemas, se necesita un paso adicional:

Definición 2: Un general $P$-espacio local es una gavilla $F \in Sh(C,J)$ s.t. existe una representable gavilla $h_U$ y un epimorphism $\varphi: h_U \to F$ la satisfacción de:

• $h_U \times_F h_U$ es un "buen" $P$-espacio local.
• Ambas proyecciones $\pi_i : h_U \times_F h_U \to h_U$ son representables por una $P$ morfismos.

Pregunta 2: Es la condición anterior, equivalente a la necesidad de que el diagonal $h_U \to h_U \times h_U$ ser representable por separado $P$-espacio local?

Ahora wer e bien desde cualquier intersección de cuñados es un cuasi-afín esquema que satisface la definición de 1.

Pregunta 3: ¿por Qué este paso razonable desde este punto de vista? ¿Tiene esto algo que ver con el cierre bajo pullbacks? ¿Definición de "1" generar "definición 2" tomando arbitraria pullbacks?.

Answer 1

Lo primero es lo primero: tenemos que definir lo que abre las inmersiones son. (!) Damos por sentado alguna clase de básica abrir inmersiones – en el caso de los esquemas, las correspondientes a las principales localizaciones de los anillos – y, a continuación, cierre bajo los sindicatos y el descenso. (Haciendo de esta precisa es bastante complicado si uno quiere ser general).

Una vez que sabemos lo que abre las inmersiones son, podemos definir locales isomorphisms: estos son los morfismos $X \to Y$, para los que hay una cubierta de la $X$ por la apertura de inmersiones $U \to X$ de manera tal que el compuesto $U \to X \to Y$ es también abierta la inmersión. Esto es totalmente sencillo generalización de la definición de local homeomorphism.

Finalmente, podemos definir a los "espacios": estas son las poleas $Y$ para los que hay una epimorphic local isomorfismo $X \twoheadrightarrow Y$ donde $X$ es un discontinuo de la unión de representable las poleas. Esto en realidad le da todos los programas – para reducir a qcqs esquemas, simplemente restringir a lo finito sindicatos de todo el mundo.

Que yo sepa, no hay ningún atajo que evita completamente la noción de local isomorfismo. Demazure y Gabriel sólo se desarrollan la definición de local isomorfismo en la definición de esquema.