¿Lo que ' s sabido acerca de las repeticiones que $(a_n)^2$?

Question

Me he encontrado a través de la recurrencia $a_{n+1} = (a_n)^2 + 1$ en el pasado. Por desgracia, la referencia se me escapa. Sin embargo, mi impresión fue que las recidivas envolviendo el producto de los términos anteriores (como $a_{n+1} = (a_n)(a_{n-1})$) son difíciles de resolver. Me pregunto lo que es conocido precisamente por este problema general.

(1) ¿hay una forma conocida de resolver las recurrencias envolviendo el producto de los términos anteriores? O, ¿qué se sabe acerca de estos?

(2) ¿cuáles son estas recurrencias se llama? ¿Tienen un nombre general (tales como no-lineal recurrencias)?

(3) ¿Dónde puedo encontrar más literatura sobre el tema?

(4) ¿Quiénes son algunos de los expertos que han tratado con este?

Answer 1

$a_{n+1} = a_n a_{n-1}$ pasa a ser bastante fácil de resolver: si $b_n = \log a_n$ $b_n$ satisface el Fibonacci de recurrencia.

La única recurrencia de la forma $a_{n+1} = a_n^2 + c$ que nada como una forma cerrada de la solución de ocurrir al $c = 0$ (obvio) y al $c = -2$ (donde la solución está dada por $a_n = 2 \cos 2^n \theta$ donde $\theta$ está determinado por $a_0$). Para todos los demás valores de $c$ tienes muy complicado comportamiento, y la situación más general no lineal de las recurrencias es aún peor. Las personas de estudio con preguntas como éstas en los sistemas dinámicos y áreas relacionadas; una palabra clave que puede utilizar para iniciar su exploración es Julia.

Como muchas otras clases de suficientemente general como problemas en matemáticas, el problema es irremediablemente complicado en general y gente interesante estudio de casos especiales.

Answer 2

Hace algún tiempo consideré la secuencia de las fracciones definidas por $a1 = 1/2$, $a{n+1} = (a_n^2 + 1)/2$, en algún contexto probabilística; Ver OEIS seqence A167424 . Esta secuencia está estrechamente relacionado con el que está definido en $a1 = 1/2$, $a{n+1}=a_n-a_n^2$, ver secuencias de OEIS A076628, cuyo multicelular como $n \to \infty$ se analizó aquí.

Answer 3

Si tenemos una secuencia $a_{n+1} = f(a_n, ..., a_{n-k})$ donde $f$ es un polinomio cuadrático en $k$ variables, entonces podemos utilizar esta relación de recurrencia para escribir una "simplificado" de la recurrencia de la relación:

$a_{n+1} = g(a_{n-k})$ donde $g$ es un polinomio, incluso de grado.

Definir una nueva secuencia $b_j = a_{(k+1) \cdot j}$.

A continuación,$b_{j+1} = a_{kj + k + j + 1} = g(a_{(k+1)j}) = g(b_j)$.

Observe que si $a_n$ converge, entonces también lo hace $b_n$$\lim a_n = \lim b_n$. Denotar $\lim b_n$$b$.

Como $g$ es continua,

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} g(b_{n+1}) = g( \lim_{n \rightarrow \infty} b_n )$

Por lo tanto, $g(b) = b$, por lo que el límite de la secuencia de $a_n$ debe ser uno de los puntos fijos de $g$.

Para encontrar los puntos fijos de $g(x)$, uno debe de encontrar las raíces del polinomio $g(x) - x$ (de los cuales hay sólo un número finito), y para resolver este problema, puede utilizar una variedad de métodos, como por ejemplo el método de Newton.

Answer 4

Puede que desee echar un vistazo a Kelley y Peterson del libro de texto [1]. El problema que usted está viendo aquí es una relación de recurrencia como usted ha indicado. También escuchará les llama ecuaciones de diferencia. Si usted está familiarizado con las ecuaciones diferenciales, estas ecuaciones de diferencia son discretas, analógicas de ecuaciones diferenciales [2].

Kelley y Peterson ir muy en profundidad con la solución de diferentes tipos de ecuaciones de diferencia. Ellos dan una buena visión general de varios métodos diferentes.

Espero que esto ayude! Si usted tiene cualquier otra pregunta, siéntase libre de enviarme un correo electrónico o póngase en contacto conmigo a través de mi blog http://www.tylerclark12.com/blog.

[1] Kelley, W. & Peterson, A. (2001). Ecuaciones de diferencia: Una Introducción con Aplicaciones (2ª Ed.). San Diego: Academic Press.

[2] Weisstein, Eric W. "Ecuación De Recurrencia." De MathWorld--Una Wolfram Los Recursos De La Web. http://mathworld.wolfram.com/RecurrenceEquation.html