En la parte 1, que está completamente a la derecha, y felicitaciones por darse cuenta de este problema.
Los problemas surgen si hay algo de $y$ que es golpeado por más de una $x$, no es inmediatamente evidente que de estas posibles $x$s $y$ se debe asignar a cuando usted está tratando de construir una función inyectiva $f[X]\to X$.
La solución es, por supuesto, sólo tienes que elegir una de ellas. Pero este "supuesto", se esconde una sorprendente cantidad de sutileza, porque si $f[X]$ es infinito, no está claro que realmente tenemos tiempo para hacer todas esas opciones antes de tener que entregar el resultado.
Podemos resolver este problema por la simple decisión de ignorar (sí, de verdad!) y de plano declarar que es válido suponer que podemos hacer todas estas opciones a la vez y terminar con algunas de función $g:f[X]\to X$ tal que $f(g(y))=y$ por cada $y\in f[X]$. Esta decisión se conoce como el Axioma de Elección en la teoría de conjuntos.
Desde el Axioma de Elección fue formulado por primera vez alrededor del año 1900, a veces ha sido bastante polémico, después de todo, alegando que no necesitamos para resolver este problema, sólo porque hemos decidido no necesitamos huele sospechosamente a la trampa. La controversia en su mayoría ha muerto por hoy, especialmente después de Gödel demostró que en un sentido técnico preciso una prueba que supone el Axioma de Elección no puede posiblemente conducir a absurdos que no puede ser alcanzado sin ella ya.
... Hmm, realmente ahora me doy cuenta que en la parte 1 te garantiza que $X$ es finito, y por lo tanto (parte 2) $f[X]$ es también finito. En ese caso lo que ocurre es que sólo se necesita para hacer un número finito de opciones arbitrarias, y te permite hacer eso sin atractivo para que el Axioma de Elección. Esto puede parecer aún más extraño que el hecho de que hemos decidido permitir que una infinidad de opciones en el primer lugar, y la explicación completa está enterrado profundamente dentro de la lógica formal.
Un simple pero técnicamente sonido manera de argumentar en este caso es que desde $X$ es finito sabemos que existe al menos un bijection entre el $X$ $\{0,2,3,4,\ldots,n-1\}$ algunos $n$ - que es lo que un ser finito significa. Elija uno de estos bijections (siempre estás autorizado a hacer opciones arbitrarias de una en una, siempre y cuando usted sabe que hay algo a elegir entre) y, a continuación, decidir que cada una de las $y$ se asigna a la menor numeración posible $x$. Esta es una de concreto, bien definido descripción, por lo que ahora las opciones de $x$s son no arbitraria, de modo que usted no tiene que apelar a el Axioma de Elección para hacer de ellos.
Su solución para la parte 2 tiene que estar mal, porque no están diciendo nada que no se aplican igual de bien $X=\mathbb N$, pero no $f(x)=x+1$ es una función inyectiva de que no surjective.
En particular, yo no ver cómo llegar
desde $f:X\to X$, $x\in X$ debe ir a $X$ y dos elementos en $X$ mapa del mismo elemento
(o, incluso, lo que significa que por él). Sospecho que te has confundido de ti mismo, porque $x$ $X$ sonido por igual en la pequeña voz que habla fórmulas en su cabeza, y entonces has de primera deduce $f(x)\in X$ y más tarde pensé que sabías $f(x)=x$.
Cosas sobre finito de conjuntos que no son realmente infinitas son a menudo demostrado por inducción. Se puede encontrar una prueba de la propiedad 1 por inducción sobre el número de elementos en $X$?
