Qué anillos $R$ que contiene (como un subring) el campo complejo $\mathbb{C}$ son, como espacio vectorial sobre ese campo, isomorfos a $\mathbb{C}^2$ ?
En otras palabras: ¿cuáles son las álgebras asociativas unitales bidimensionales sobre $\mathbb{C}$ ? Tenga en cuenta que no suponemos a priori $R$ sea un anillo conmutativo.
En general, dejemos que $k$ sea un campo cualquiera. Si $R$ es un $2$ -dimensional $k$ -debe tener una base $\{ 1, x \}$ donde $x$ no es un múltiplo escalar de $1$ en particular, debe ser conmutativa, ya que está generada por $x$ . Puesto que es $2$ -dimensional, $x^2 = ax + b$ para algunos $a, b \in k$ y se deduce que $R \cong k[x]/(x^2 - ax - b)$ . El tipo de isomorfismo de $R$ está ahora controlada por los posibles tipos de polinomios cuadráticos mónicos sobre $k$ . Hay tres casos:
$x^2 - ax - b$ tiene dos raíces distintas en $k$ . En este caso $R \cong k \times k$ por el teorema chino del resto.
$x^2 - ax - b$ es irreducible sobre $k$ . En este caso $R$ es una extensión de campo cuadrático de $k$ .
$x^2 - ax - b$ tiene dos raíces repetidas en $k$ . En este caso $R \cong k[x]/x^2$ .
Si $k$ es algebraicamente cerrado entonces el segundo caso nunca se da y concluimos que hay exactamente dos tipos de isomorfismo de $2$ -dimensional $k$ -álgebras.
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