Definiciones equivalentes de una matriz ortogonal.

Question

Deseo mostrar que las siguientes definiciones de una matriz real de $n \times n$$Q$son equivalentes:

1. $QQ^T=I$,
2. $Qx\cdot Qx=x\cdot x$ % todos $x\in \mathbb{R}^n$.

Encontré fácil demostrar que $(1) \Rightarrow (2)$:

Supongamos que $QQ^T=I$. Entonces, tenemos que %#% $ #%

Sin embargo, no estoy seguro acerca de cómo mostrar que $$Qx\cdot Qx=(Qx)^TQx=x^TQ^TQx=x^TIx=x^Tx=x\cdot x.$.

Answer 1

Sugerencia Polarizando la ecuación (2) da que $$Qx \cdot Qy = x \cdot y$ $ % los $x, y \in \Bbb R^n$, y utilizando la misma manipulación como en la prueba de la implicación de otros da que esto es equivalente a $$y^T Q^T Q x = y^T x.$ $ ahora, evaluar ambos lados en $x = e_a$, $y = e_b$, donde $(e_1, \ldots, e_n)$ es la base estándar.

Evaluación de la l.h.s. da $e_b^T Q^T Q e_a$, que es la entrada de #% de #% % de la matriz $(a, b)$.

Answer 2

Como señaló Travis, por polarización tenemos:

$\langle Qx, Qy \rangle$=$\langle x,y\rangle \quad \forall x,y$

Por lo tanto:

$\langle Q^TQx, y \rangle$=$\langle x,y\rangle \quad \forall x,y$

$\implies \langle Q^TQx-x, y\rangle=0 \quad \forall x,y$

Fijar un % arbitrario $x$. Poner $y:=Q^TQx-x$. Por lo tanto, $\langle Q^TQx-x, Q^TQx-x\rangle=0 \implies Q^TQx-x=0 \implies Q^T Q x=x$. $x$ $Q^TQ$ Es arbitraria, es la identidad.

Answer 3

Supongamos que

$Qx \cdot Qx = x \cdot x, \forall x \in \Bbb R^n; \tag{1}$

entonces

$x^TQ^TQx = Qx \cdot Qx = x \cdot x$ $= x^T Ix, \forall x \in \Bbb R^n, \tag{2}$

de dónde,

$x^T(Q^TQ - I)x = 0, \forall x \in \Bbb R^n; \tag{3}$

tomamos nota de que $Q^TQ - I$ es simétrica:

$(Q^TQ - I)^T =(Q^TQ)^T - I^T = Q^TQ - I. \tag{4}$

El resultado deseado, sigue ahora con la ayuda de los siguientes

Lema: Vamos a $A$ ser real, simétrica, $n \times n$ matriz, $A^T = A$; si $x^TAx = 0$, $\forall x \in A$, entonces, en el hecho de $A = 0$.

Prueba: tenemos, por $x, y \in \Bbb R^n$,

$(x + y)^TA(x + y) = 0, \tag{5}$

o

$x^TAx + y^TAx + x^TAy + y^TAy = 0; \tag{6}$

ahora

$x^TAx= y^TAy = 0, \tag{7}$

así que (6) se obtiene la

$y^TAx + x^TAy = 0; \tag{8}$

desde $x^TAy$ es una cantidad escalar, y $A^T = A$, tenemos

$x^TAy = (x^TAy)^T = y^TA^Tx = y^TAx; \tag{9}$

por lo tanto (8) se convierte en

$2y^TAx = 0 \Rightarrow y^TAx = 0; \tag{10}$

desde (10) se une para todos los $y$,

$Ax = 0, \forall x \in \Bbb R^n \Rightarrow A = 0. \tag{11}$

QED.

Aplicamos este lema a encontrar que

$Q^TQ - I = 0 \tag{12}$

en virtud de (3) y (4); pero esto es eqivalent a

$QQ^T = I \tag{13}$

desde $Q$ es de tamaño finito. QED.

Answer 4

Considerar el % de base orthonormal ${ei}{i=1}^n$y considerar una matriz $Q=(Q_{ab})$ $(2)$ que. Entonces, $1\leq i,j\leq n$, tenemos $$ Qe_i\cdot Qe_j = e_i ^ TQ ^ TQej = \sum{1\leq, n b\leq} P {BI} ^ TQ {aj} = e_i\cdot ej = \delta{ij}. $$ Por el contrario, tenga en cuenta que $$ \left(Q^TQ\right) {ij} = \left(QQ^T\right) {ij} = \sum{1\leq, n b\leq} P {BI} ^ TQ {aj} = \delta {ij}. $$