Solución de 2 º orden FDE

Question

Cuál es la solución general a la ecuación diferencial:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial u}{\partial x}$$

Estoy un poco atascado porque todas las técnicas que conozco son incapaces de resolverlo.

Answer 1

Todavía podemos encontrar su solución general mediante separación de variables:

Caso 1: $\text{Re}(x)\ge0$

Deje $u(x,y)=X(x)Y(y)$ ,

A continuación, $X(x)Y''(y)=X'(x)Y(y)$

$\dfrac{X'(x)}{X(x)}=\dfrac{Y''(y)}{Y(y)}=-(f(t))^2$

$\begin{cases}\dfrac{X'(x)}{X(x)}=-(f(t))^2\\Y''(y)+(f(t))^2Y(y)=0\end{cases}$

$\begin{cases}X(x)=c_3(t)e^{-x(f(t))^2}\\Y(y)=\begin{cases}c_1(t)\sin(yf(t))+c_2(t)\cos(yf(t))&\text{when}~t\neq0\\c_1y+c_2&\text{when}~t=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,y)=C_1y+C_2+\int_tC_3(t)e^{-x(f(t))^2}\sin(yf(t))~dt+\int_tC_4(t)e^{-x(f(t))^2}\cos(yf(t))~dt$ o $C_1y+C_2+\sum_tC_3(t)e^{-x(f(t))^2}\sin(yf(t))+\sum_tC_4(t)e^{-x(f(t))^2}\cos(yf(t))$

Caso 2: $\text{Re}(x)\le0$

Deje $u(x,y)=X(x)Y(y)$ ,

A continuación, $X(x)Y''(y)=X'(x)Y(y)$

$\dfrac{X'(x)}{X(x)}=\dfrac{Y''(y)}{Y(y)}=(f(t))^2$

$\begin{cases}\dfrac{X'(x)}{X(x)}=(f(t))^2\\Y''(y)-(f(t))^2Y(y)=0\end{cases}$

$\begin{cases}X(x)=c_3(t)e^{x(f(t))^2}\\Y(y)=\begin{cases}c_1(t)\sinh(yf(t))+c_2(t)\cosh(yf(t))&\text{when}~t\neq0\\c_1y+c_2&\text{when}~t=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,y)=C_1y+C_2+\int_tC_3(t)e^{x(f(t))^2}\sinh(yf(t))~dt+\int_tC_4(t)e^{x(f(t))^2}\cosh(yf(t))~dt$ o $C_1y+C_2+\sum_tC_3(t)e^{x(f(t))^2}\sinh(yf(t))+\sum_tC_4(t)e^{x(f(t))^2}\cosh(yf(t))$

Por lo tanto $u(x,y)=\begin{cases}C_1y+C_2+\int_tC_3(t)e^{-x(f(t))^2}\sin(yf(t))~dt+\int_tC_4(t)e^{-x(f(t))^2}\cos(yf(t))~dt&\text{when}~\text{Re}(x)\geq0\\C_1y+C_2+\int_tC_3(t)e^{x(f(t))^2}\sinh(yf(t))~dt+\int_tC_4(t)e^{x(f(t))^2}\cosh(yf(t))~dt&\text{when}~\text{Re}(x)\leq0\end{cases}$ o $\begin{cases}C_1y+C_2+\sum_tC_3(t)e^{-x(f(t))^2}\sin(yf(t))+\sum_tC_4(t)e^{-x(f(t))^2}\cos(yf(t))&\text{when}~\text{Re}(x)\geq0\\C_1y+C_2+\sum_tC_3(t)e^{x(f(t))^2}\sinh(yf(t))+\sum_tC_4(t)e^{x(f(t))^2}\cosh(yf(t))&\text{when}~\text{Re}(x)\leq0\end{cases}$

Esta es ya la solución general de la $\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ . Tenga en cuenta que cuando sin ningún I. C. s, la forma de $f(t)$ puede elegir arbitraria, pero cuando I. C. s, la forma de $f(t)$ y la elección si el uso de la integración del núcleo o mediante la sumatoria del núcleo debe elegir sabiamente con el fin de dar cabida a la I. C. s para obtener la más agradable forma de la solución, especialmente el número de I. C. s es más que dos.

Otro método brillante se llama el poder de la serie de método.

Similar a la de la PDE - solución con poder serie:

Deje $u(x,y)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(y-a)^n}{n!}\dfrac{\partial^nu(x,a)}{\partial y^n}$ ,

A continuación, $u(x,y)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(y-a)^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^{2n}u(x,a)}{\partial y^{2n}}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(y-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^{2n+1}u(x,a)}{\partial y^{2n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(y-a)^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^nu(x,a)}{\partial x^n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(y-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^{n+1}u(x,a)}{\partial x^n\partial y}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x)(y-a)^{2n}}{(2n)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{g^{(n)}(x)(y-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer 2

Esta es la ecuación del calor. No esperes una fórmula única para la solución general, porque el problema es demasiado complejo para eso. Sin embargo, existen fórmulas muy generales que se aplican en circunstancias especiales (serie de Fourier solución para el problema de valor inicial – límite, etcetera.).

Answer 3

También puede intentar soluciones de self-similar, véase, por ejemplo, http://www.math.toronto.edu/courses/apm346h1/20129/L9.html