Considere un campo $F$ y la representación estándar de $SL_n(F)$ en $F^n$ . Dejemos que $k$ sea un número entero. Entonces $SL_n(F)$ actúa sobre $\operatorname{Sym}^k(F^n)$ . ¿Por qué esta última representación es irreducible? (Creo que es cierto, pero puedo estar equivocado).
Respuesta
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En primer lugar, el resultado es falso en la característica positiva: si $\text{char}(F) = p$ y $p | k$ entonces $\text{Sym}^k(F^n)$ contiene una subrepresentación dada por el $p^{th}$ poder de $\text{Sym}^{ \frac{k}{p} }(F^n)$ en $\text{Sym}(F^n)$ .
El resultado es verdadero en la característica cero. Si $e_1, ... e_n$ es la base estándar de $F^n$ , entonces podemos identificar $\text{Sym}^k(F^n)$ con polinomios homogéneos de grado $k$ en las variables $e_i$ . Queremos demostrar que si $f(e_1, ... e_n) \in \text{Sym}^k(F^n)$ es distinto de cero, entonces el $\text{SL}_n(F)$ -subrepresentación que abarca es todo el asunto; llámese $V$ . Esto es sencillo cuando $k = 1$ . Cuando $k > 1$ , escriba $$f(e_1, ... e_n) = \sum e_1^{k_1} e_2^{k_2} g_{k_1 k_2}(e_3, ... e_n) \in V$$
y observe que para cualquier $t \in F$ tenemos $$f(te_1, t^{-1} e_2, ... e_n) = \sum t^{k_1 - k_2} e_1^{k_1} e_2^{k_2} g_{k_1 k_2}(e_3, ... e_n) \in V.$$
Tomando combinaciones lineales adecuadas de éstas para variar $t$ (esto es esencialmente interpolación de Lagrange y falla si $F$ es finito) se deduce que $$\sum_{k_1 - k_2 = r} e_1^{k_1} e_2^{k_2} g_{k_1 k_2}(e_3, ... e_n) \in V$$
para todos $r$ . En otras palabras, podemos aislar los términos en $F$ donde $k_1$ difiere de $k_2$ por una constante elegida. Aplicando lo anterior a todos los pares de variables $e_i, e_j$ podemos aislar un único término $$e_1^{k_1} ... e_n^{k_n} \in V$$
especificando las diferencias entre sus exponentes (esto determina el término de forma única porque el grado total se fija en $k$ ). Ahora, observe que para cualquier $t \in F$ y cualquier $i, j$ tenemos $$e_1^{k_1} ... (e_i + t e_j)^{k_i} ... e_j^{k_j} ... e_n^{k_n} \in V$$
y tomando combinaciones lineales adecuadas de estos vectores (este paso falla si $F$ tiene una característica positiva y $\text{char}(F) | k_i$ ) se deduce que $$e_1^{k_1} ... e_i^{k_i - s} ... e_j^{k_j + s} ... e_n^{k_n} \in V$$
para cualquier $0 \le s \le k_i$ . Aplicando lo anterior a todos los pares $i, j$ concluimos que podemos obtener cualquier monomio de grado $k$ y la conclusión es la siguiente.
