Solución de una ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)

Question

Estoy tratando de resolver una EDO que surge de una ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). La ecuación es $$\frac{1}{2}b^2(1-\rho_s^2)\psi''-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right)^2\frac{(\psi')^2}{\psi''}+[ru+\theta a+b\rho_s(\mu-r)(1-\frac{2}{\sigma})]\psi'=0,$$ donde $\mu, r, \sigma, \theta, a, \rho_s, b$ son constantes. Quiero determinar $\psi'(u)$ (de modo que obtengo una forma integral para $\psi(u)$ ). He intentado adivinar (método de prueba y error) formas de la solución pero no llegué lejos. También he probado con la transformada de Legendre, pero no he conseguido la forma lineal. Estos son los métodos que he visto que se utilizan en con estos problemas.

Answer 1

Supongamos que $\psi' = f$ , entonces la ecuación es de la forma

$$Af' + B\frac{f^2}{f'} + (cu+d)f = 0$$

Al poner $$g = \frac{f'}{f} = (\log f)'$$ vemos que

$$Ag + \frac{B}{g} + (cu+d) = 0$$

Se trata de una cuadrática en $g$ y puede resolverse fácilmente.

Obtenemos $$ \psi' = f = e^{\int g}$$

Espero que eso ayude.