Problema de la longitud del arco

Question

Actualmente me encuentro en medio del siguiente problema.

Reparametrizar la curva $\vec{\gamma } :\Bbb{R} \to \Bbb{R}^{2}$ definido por $\vec{\gamma}(t)=(t^{3}+1,t^{2}-1)$ con respecto a la longitud de arco medida desde $(1,-1)$ en el sentido de aumentar $t$ .

Al reparametrizar la curva, ¿significa esto que debo escribir la ecuación en forma cartesiana? Si es así, continúo como sigue.

$x=t^{3}+1$ y $y=t^{2}-1$

Resolución de $t$

$$t=\sqrt[3]{x-1}$$

Así,

$$y=(x-1)^{2/3}-1$$

Dejar $y=f(x)$ la longitud del arco puede calcularse mediante la fórmula

$$s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\cdot dx$$

Al hallar la derivada se obtiene

$$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}$$

y

$$[f'(x)]^{2}=\frac{4}{9(x-1)^{2/3}}.$$

Introduciendo esto en la fórmula arclength, y utilizando los límites de integración apropiados (encontrados utilizando $t=1,-1$ con $x=t^{3}+1$ ) da como resultado

$$s=\int_{0}^{2}\sqrt{1+\frac{4}{9(x-1)^{2/3}}}\cdot dx$$

Ahora soy incapaz de continuar con la integración ya que me tiene perplejo. No puedo factorizar nada, etc. ¿Hay alguna forma general de abordar este tipo de problemas?

Answer 1

Como la curva dada no es regular cuando $t=0$ y su parámetro de curva va de $-1$ a $1$ Por lo tanto Abajo es el parámetro de longitud de arco de la curva de $0$ a $1$ . Y lo mismo funcionará para $0$ a $-1$ .

¿Cuál es la fórmula de longitud de arco, cuando la curva se da forma paramétrica como en su caso $$\gamma (t)= (t^3+1, t^2-1)$$

La fórmula de la longitud del arco es $$s(t)= \int_{1}^t\|\gamma'(t)\|dt$$

Es decir, tenemos $$s(t)=\int_{1}^t\|(3t^2, 2t)\|dt$$
$$s(t)=\int_{1}^t t\sqrt{9t^2+4} dt$$ $$s(t)= \left[\frac{(4+9t^2)^\frac{3}{2}}{27}\right]_{1}^t$$ $$s(t)= \frac{(4+9t^2)^\frac{3}{2}-13^\frac{3}{2}}{27}$$

que da $$t(s)= \left(\frac{(27s+13^\frac{3}{2})^\frac{2}{3}-4}{9}\right)^\frac{1}{2}$$

Poner el valor de $t$ en $\gamma(t)$ tendrá $\tilde{\gamma}(s)=\gamma(t(s))$ parametrización de la longitud de arco..

Answer 2

Reparametrizar la curva en términos de longitud de arco a partir de un punto base significa reescribir la ecuación de la curva para que nos diga qué punto está a la distancia $s$ desde el punto base para cualquier $s$ .

Es más fácil encontrar directamente la parametrización de la longitud de arco. Sea $s(u)$ sea la longitud del arco desde $t=0$ (ya que ese es el valor de $t$ que da como resultado el punto $\langle 1,-1\rangle$ ) a $t=u$ Entonces

$$\begin{align*}s(u)&=\int_0^u\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\ &=\int_0^u\sqrt{(3t^2)^2+(2t)^2}dt\\ &=\int_0^u\sqrt{t^2(9t^2+4)}dt\\ &=\int_0^ut\sqrt{9t^2+4}dt\\ &=\frac1{27}\left[(9t^2+4)^{3/2}\right]_0^u\\ &=\frac1{27}\left((9u^2+4)^{3/2}-8\right)\;. \end{align*}$$

Sustituir $u$ por $t$ la longitud del arco desde $\langle x(0),y(0)\rangle$ a $\langle x(t),y(t)\rangle$ es $$s(t)=\frac1{27}\left((9t^2+4)^{3/2}-8\right)\;,$$ así que $$t(s)=\left(\frac19(27s+8)^{2/3}-4\right)^{1/2}\;.$$

Esto le da el valor de $t$ que especifica el punto de la curva que es $s$ unidades desde el punto inicial $\langle 1,-1\rangle$ ; para terminar el trabajo, sólo tiene que expresar $x$ y $y$ como funciones de $s$ que es una sustitución directa en el $x(t)$ y $y(t)$ fórmulas.

Answer 3

Su integración podría hacerse. Sin embargo, hay una manera mucho más fácil. Calcular la longitud de arco utilizando la versión paramétrica de la curva.

Tenemos $x=u^3+1$ y $y=u^2-1$ . (He cambiado los nombres de los parámetros porque quiero reservar $t$ para el parámetro del punto final). A continuación, $\frac{dx}{du}=3u^2$ y $\frac{dy}{du}=2u$ . Por lo tanto, la arclitud de $u=0$ a $u=t$ viene dada por $$\int_0^t \sqrt{\left(\frac{dx}{du}\right)^2 +\left(\frac{dy}{du}\right)^2}\,du.$$ Hemos utilizado la fórmula de la arclitud paramétrica, ¡mucho más fácil! La integración comienza en $u=0$ ya que ese es el valor del parámetro que nos da el punto $(1,-1)$ .

Acabamos integrando $\sqrt{9u^4+4u^2}$ . Desde $u\ge 0$ podemos sustituirlo por $u\sqrt{9u^2+4}$ . Integrar, haciendo la sustitución $w=9u^2+4$ . Llegamos a $$\frac{1}{27}\left((9t^2+4)^{3/2}-8\right).\qquad (\ast)$$ Esta es la arclitud $s$ expresada en función de $t$ .

Queremos parametrizar en términos de $s$ . Por tanto, resuelva $t$ en términos de $s$ utilizando $(\ast)$ . Al resolver, habrá dos valores candidatos de $t$ . Tome el no negativo, ya que empezamos en $t=0$ y nos dijeron que t$ está aumentando.

Por último, en la parametrización original, sustituya $t$ por su valor en términos de $s$ .

Answer 4

Pista:

Sustituir $(x-1)^{1/3}=t$ . Su integral se reducirá a $$\int_{-1}^1t\sqrt{4+9t^2}\rm dt$$

Ahora $4+9t^2=u$ y observe que $\rm du=18t~~\rm dt$ que completará el cálculo. (Nótese que es necesario cambiar los límites de integración mientras se integrag sobre $u$ .)

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Un camino más largo:

Ahora integra por partes con $u=t$ y $\rm d v=\sqrt{4+9t^2}\rm dt$ y obtener $v$ , te gustaría mantener $t=\dfrac{2\tan \theta}{3}$