Encuentra el entero positivo más pequeño que termina en$17$, es divisible por$17$, y la suma de sus dígitos es igual a$17$.

Question

Esta es una palabra muy interesante problema que me encontré en un viejo libro de texto de la mina. Así que yo sé que tienen algo que ver con los números primos y composities pero aparte de eso, el libro de texto no dio pistas realmente y realmente no estoy seguro acerca de cómo acercarse a él. Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería verdaderamente apreciada. Gracias de antemano :) Así que de todos modos, aquí va el problema:

Encontrar el menor entero positivo que termina en $17$, es divisible por $17$, y la suma de sus dígitos es igual a $17$.

Answer 1

El número debe ser$15317$. Cedo a la tentación de publicar mi comentario anterior como una respuesta. El número termina en$17$, por lo que tenemos un punto de partida, la suma del dígito es$8$. Ahora necesitamos una suma de dígitos de$9$, y el número anexado a la izquierda tiene que ser divisible por$9$. Como$17$ y$9$ son coprime,$17$ x$9$ =$153$ es el número más pequeño. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta original es$15317$.

Answer 2

Debería comenzar a buscar el primer número$N$ que es un múltiplo de$17$ cuyos dígitos suman$9$. (¿Qué tipo de números son aquellos cuyos dígitos suman$9$?)

Si agrega$17$ al final de$N$, lo obtendrá.

Answer 3

Punto de partida : si$n$ es el número, entonces:

• $n \equiv 17 \pmod {100}$ ya que$n$ termina en$17$.
• $n \equiv 17 \pmod 9$ ya que los dígitos de$n$ suman a$17$.
• $n \equiv 17 \pmod {17}$ ya que$n$ es divisible por$17$.

El Teorema del Remanente chino ahora reduce las posibilidades enormemente.

Answer 4

Sugerencia: el número termina en 17, por lo que$n-17$ es divisible por 100 y por 17, de lo contrario$n$ no es divisible por 17. Así que verifique los números que son 17 más que un múltiplo de 1700.