Teorema de convergencia monótona por Fatou ' lema s

Question

Yo quiero probar el teorema de convergencia monótona uso de Fatou del lexema (y su inversa) como el ejercicio, y necesito un cheque; yo la uso también las siguientes propiedades de límite inferior y límite superior:

Deje $f,g: D \to \mathbb{R}$ funciones. Entonces si $\lim_{x \to c} f(x)$ existe en $\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty, + \infty \}$ tenemos $$\liminf_{x \to c} (f(x) +g(x))=\lim_{x \to c} f(x) + \liminf_{x \to c} g(x)$$ y lo mismo para el límite superior.

Declaración. Deje $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ser una medida en el espacio. Suponga que $f_0 \le f_1 \le f_2 \le \dots$ es un aumento de la secuencia de funciones en $L^{+}(X)$ ($=$ el conjunto de todos extendido real con valores positivos medibles funciones), de tal manera que $f_n \uparrow f$ pointwise. A continuación, $$ \int_X f = \lim_{n \to \infty} \int_X f_n $$

Prueba. $g_n=(f-f_n)$ es una secuencia de positivos medibles funciones, y luego puedo aplicar Fatou del lema; es $$\int_X \liminf_n (f-f_n) d\mu \le \liminf_n \int_X (f-f_n) d \mu$$Using the property above we have that $$\int_X \liminf_n (f-f_n) d\mu =\int_X (f - \liminf_n f_n) d \mu=0$$ and $$\liminf_n \int_X (f-f_n) d \mu=\liminf_n \left[ \int_X f d\mu - \int_X f_n d\mu \right]=\int_X f d \mu - \liminf_n \int_X f_n d \mu$$ So it is $$\int_X f d \mu \ge \liminf_n \int_X f_ d \mu \ge \int_X \liminf_n f_n d \mu=\int_X f d \mu$$using the lemma on $f_n$, which implies $$\int_X f d \mu = \liminf_n \int_X f_n d \mu$$Now: if $$\begin{split} \int_X f d \mu=\infty & \ \longrightarrow \ \underbrace{\liminf_n \int_X f_n d \mu}_{=\infty} \le \limsup_n \int_X f_n d \mu = \infty \\ & \ \longrightarrow \ \int_X f d \mu = \lim_n \int_X f_n d \mu = \infty \end{split}$$ y si $$\int_X f d \mu < \infty$$ We can apply, in a similar way as above, the reverse of Fatou's lemma considering that $f-f_n \le f - f_0$ and that $f-f_0$ is integrable ( - here I've used the fundamental hypothesis of $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ increasing). We obtain $$ \int_X f d \mu=\limsup_n \int_X f_n d \mu $$y, a continuación, la tesis.

¿Qué piensa usted acerca de esto?

Muchas gracias.

Answer 1

Creo que la prueba es básicamente bien, pero a mí parece como si algunos de los lugares donde estaban un poco descuidados.

$$\int_X \liminf_n (f-f_n) d\mu =\int_X (f - \liminf_n f_n) d \mu=0$$

Mientras que lo que escribí aquí es técnicamente cierto, la elección de la $\int (f - \liminf f_n)$ el intermediario de expresión es antinatural porque sugiere que utilizó la afirmación de $$\liminf (-a_n) = - \liminf a_n,$$ which is false in general. Instead, $$\liminf (-a_n) = -\boldsymbol\limsup a_n.$$ En nuestro caso, sería más sencillo argumentar que $$\int \liminf(f - f_n) = \int(f - \limsup f_n) = \int(f-f) = 0.$$

$$\liminf_n \int_X (f-f_n) d \mu=\liminf_n \left[ \color{maroon}{\int_X f d\mu - \int_X f_n d\mu} \right] = \color{maroon}{\int_X f d \mu - \liminf_n \int_X f_n d \mu}$$

Aparte de otra de las potencialidades de la mezcla de $\liminf$$\limsup$, tenga en cuenta que los dos resaltado expresiones no pueden ser bien definidos debido a que podría tomar la forma $\infty - \infty$. Tendría que probar con más cuidado que $$ \liminf \int (f - f_n) \geq 0 \implica \int f \geq \limsup \int f_n \geq \liminf \int f_n. $$

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Un limpiador de enfoque fue criado por user1876508 en su comentario. Tenemos, con Fatou del lema a lo largo del camino, que $$ \int f = \int \liminf f_n \leq \liminf \int f_n \leq \limsup \int f_n. $$ Para todos los $n$, podemos deducir de $f_n \leq f$ que $\int f_n \leq \int f$. De ello se desprende que $$\limsup \int f_n \leq \int f.$$ Por lo tanto $\lim \int f_n$ existe y es igual a $\int f$.