Valor exacto

Question

El siguiente problema ha estado en mi mente por un tiempo.

Se conocen muchos valores exactos de la función arcotangente, como$$\arctan 0=0$ $$$\arctan 1=\frac{\pi}{4}$ $$$\arctan \frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\pi}{6}$ $ Sin embargo, parece que no puedo encontrar un valor exacto de$$\arctan 2$ $ ¿Cómo puedo encontrar uno? ¿Es posible?

NOTA: Por exacto, quiero decir que estoy buscando una respuesta en la forma$$\frac{p\pi}{q}$ $ con$p,q\in \mathbb Z$.

Answer 1

$\arctan 2$ no es un múltiplo racional de$\pi$. Si lo fuera, entonces para un entero$n > 0$, tendríamos que$(1 + 2i)^n$ es real. Por otro lado, si definimos$a_n := \operatorname{Im}((1 + 2i)^n)$, es sencillo mostrar que esta secuencia satisface la relación de recurrencia:$$a_{n+2} = 2 a_{n+1} - 5 a_n, \, n \ge 0.$ $, pero ahora$a_0 = 0$ y$a_1 = 2$, por lo tanto, por inducción , es sencillo mostrar$a_n \equiv 2^{n+1} \pmod{5}$ para$n \ge 1$. Como ninguna potencia de 2 es divisible entre 5, esto implica que$a_n \ne 0$ para$n \ge 1$.

Answer 2

Si $\arctan(2)$ fueron racional múltiples de $\pi$, $\alpha=\frac{1+2i}{\sqrt{5}}$ $m$- ésima raíz de la unidad para algunos $m\in\mathbb{N}$. Por otro lado, el polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb{Q}$$x^4+\frac{6}{5}x^2+1$, y esto no es un cyclotomic polinomio, ya que cyclotomic polinomios siempre tiene coeficientes enteros (por Moebius inversión de la fórmula, si te gusta). De ello se desprende que $\alpha$ no es un $m$-ésima raíz de la unidad y de la

$$ \frac{\arctan 2}{\pi}\color{red}{\not\in}\mathbb{Q}.$$

Pequeña variación: no hay tantos cyclotomic polinomios con grado de $4$. Como muchos, como las soluciones de $\varphi(n)=4$, dado por $n\in\{8,10,12\}$. El polinomio mínimo de a $\alpha$ no pertenece al conjunto de $\{\Phi_8(x),\Phi_{10}(x),\Phi_{12}(x)\}$, y la conclusión es la misma.

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De todos modos, por el Shafer-Fink desigualdad de una muy buena aproximación de la $\arctan 2$ es proporcionado por $$ \frac{\pi}{2}-\frac{3/2}{1+2\sqrt{1+1/4}}=\color{blue}{\frac{1}{8} \left(3-3 \sqrt{5}+4 \pi \right)}.$$