Determinante de una matriz con coeficientes binomiales generalizados

Question

Que $ A =\begin{bmatrix}\binom{-1/2}{1}&\binom{-1/2}{0}&0&0&...&0\ \binom{-1/2}{2}&\binom{-1/2}{1}&\binom{-1/2}{0}&0&&...\...&&&\binom{-1/2}{0}\ &&&...&&\binom{-1/2}{0}\ \binom{-1/2}{n}&\binom{-1/2}{n-1}&\binom{-1/2}{n-2}&\binom{-1/2}{n-3}&...&\binom{-1/2}{1}\end{bmatrix}. $$ ¿Cómo puedo calcular $\det A$?

Muchas gracias.

Answer 1

Yo sustituiría $-\frac12$ por un entero positivo $N$, probar el resultado $\binom {N+n-1} n$ por inducción en $N$, y a continuación, ya que ambos lados son polinomios, enchufe $N=-\frac12$.

(Llame a la determinante $f(n,N)$. Añadir la de $(n-1)$th fila a la $n$th fila, entonces el $(n-2)$th fila a la $(n-1)$th fila y así sucesivamente, usted recibirá $f(n,N)=f(n,N+1)-f(n-1,N+1)$, lo que nos permite dar una inducción de la prueba para el resultado de la $\binom{N+n-1}n$.)

Una alternativa a la inducción de la prueba es considerarlo como un caso especial de la segunda Jacobi-Trudi fórmula para funciones de Schur.

Quiero demostrar que la $$\det_{1\le i,j \le n} \binom{N}{i-j+1}=\binom{N+n-1}n.$$

Para primaria, simétrica de la función $e_k(1,1,\dots,1)$ $m$ variables es igual a $\binom{m}k$, mientras que de $h_k(1,1,\dots,1)=\binom{m+k-1}{k}$. La segunda Jacobi-Trudi fórmula da

$$s_{\lambda}=\det_{i,j=1}^{\lambda_1} e_{\lambda^\ast_i+j-i}.$$

Así, si elegimos la partición de $\lambda=(n)$ y evaluar en$N$, obtenemos: $$\det_{i,j=1}^ne_{1+j-i}(1,1,\dots,1)=s_{(n)}(1,1,\dots,1)=h_n(1,1,\dots,1)=\binom{N+n-1} n$$ como se desee.

De nuevo, porque es un polinomio, podemos enchufar $N=\frac12$.

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Editado para añadir:

Ambos argumentos final de la siguiente manera:

El determinante con $-\frac12$ reemplazado por $N$ es un polinomio en a $N$ de una cierta delimitada grado (no es necesario determinar realmente, lo importante es que el título no implican $N$, no es difícil ver que el grado es $n$, pero es también bastante vinculado por más obvio obligado como $1+2+\dots+n$). La resultante coeficiente binomial es también un polinomio en $N$ (de grado $n$).

Hemos demostrado que los dos polinomios son iguales mientras conectamos entero positivo los valores de $N$. Pero estas son infinitamente muchos de los valores y de dos polinomios que están de acuerdo sobre una infinidad de valores (o de acuerdo en el grado más uno de los valores) son idénticos.

Puesto que los dos polinomios son idénticos, se puede conectar $-\frac 12$ (o $\pi$ o $2+i \dots$).

Answer 2

Un rápido cálculo en Mathematica sugiere que $\det A_n = \binom{n - \frac{3}{2}}{n}$. Me imagino que una prueba implica operaciones de fila para convertir la matriz en forma triangular inferior, luego tomar el producto de las entradas de la diagonal principal. A partir de la fila inferior y nuestra forma de trabajo para arriba. Lamentablemente no tengo el tiempo para escribir una solución completa.