Cómo evaluar $\int \frac {xe^2}{(1+2x)^2}dx$

Question

Yo pila con la siguiente pregunta. $\int \frac {xe^2}{(1+2x)^2}dx$

Yo creo que es necesario el uso de $uv-\int vdu$ para evaluar esta función, pero yo no podía ver lo que iba a ser $u$ $v$

Si usted tiene alguna idea podría publicar aquí ?

Gracias !

Answer 1

Creo que hay un poco más simple que la integración por partes. Escribimos $$\frac{e^2x}{(1+2x)^2}=\frac{e^2}2\frac{2x+1-1}{(2x+1)^2}=\frac{e^2}2\left(\frac 1{2x+1}-\frac 1{(2x+1)^2}\right)=\frac{e^2}4\left(\frac 2{2x+1}-\frac 2{(2x+1)^2}\right),$$ así $$\int\frac{e^2x}{(1+2x)^2}dx=\frac{e^2}4\left(\ln(2x+1)+\frac 1{2x+1}\right)+K,$$ donde $K$ es una constante real.