Cómo derivar $\sum j^2$ de la propiedad telescópica

Question

El libro Real Analysis via Sequences and Series tiene un método para demostrar que $$\sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2}$$ que nunca había visto antes. La forma en que lo hacen es comenzando con $\sum (2j+1)$ utilizando el hecho de que $2j+1 = (j+1)^2-j^2$ y, a continuación, utilizando la propiedad telescópica.

Este método me parece muy agradable desde el punto de vista estético, pero tengo dos preguntas al respecto: $(1)$ ¿cuál fue la motivación para empezar con $2j+1$ ? ¿Por qué se les habría ocurrido a los autores como forma de derivar una fórmula para $\sum j$ ? Y, una pregunta relacionada: $(2)$ Después de esta derivación, los autores afirman que la fórmula para $\sum_{j=1}^n j^2$ se puede encontrar de forma similar. No he podido averiguar a qué serie telescópica debo equiparar esto. ¿Cómo se puede encontrar la fórmula de esta suma de forma similar?

Answer 1

Basándonos en el método anterior parece plausible partir del hecho de que $(j + 1)^3 - j^3 = 3j^2 + 3j + 1$ La suma de ambos lados da:

$\sum\limits_{j=1}^n (j+1)^3 - j^3 = 3\sum\limits_{j=1}^n j^2 + \sum\limits_{j=1}^n 3j + \sum\limits_{j=1}^n 1$

El lado izquierdo se telescopia, por lo que obtenemos

$(n+1)^3 - 1 = 3\sum\limits_{j=1}^n j^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

Así que:

$\sum\limits_{n=1}^n j^2 = \frac{(2n^3 + 6n^2 + 6n) - (3n^2 + 3n) - (2n)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Answer 2

La motivación de (1) podría ser el hecho de que muchos matemáticos saben que la suma de los primeros números Impares da la secuencia de cuadrados. La prueba convincente sin palabras es bien conocida:

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words

Aquí hay una prueba sin palabras para las sumas de cuadrados:

http://mathandmultimedia.com/2012/05/27/proof-of-the-sum-of-square-numbers/

Answer 3

No es tanto que 2j+1 sea natural para empezar; es más bien conocer el truco de que si haces (j+1)^2 - j^2, entonces eso eliminará la parte cuadrática, reduciendo a una expresión lineal, que resulta ser 2j+1.