Ejemplo de la debilidad de la convergencia en $L^2(\mathbb{R}^n)$-Norma

Question

Tuvimos en la conferencia en el siguiente ejemplo de la debilidad de la convergencia a 0:
$f_k(x) = {k^{-n/2}} f(x/k)$ donde $f \in C^\infty (\mathbb{R}^n)$ fijo y $f$ tiene apoyo en la unidad de la bola de $B_1(0)$.
De alguna manera, no veo por qué eso es cierto.
Traté de usar Hölder, pero no obtener el resultado deseado. Yo estaría feliz de recibir las sugerencias de algunos (creo que el $n=1$ de los casos es suficiente).

Answer 1

Se puede demostrar de la siguiente manera. Tenga en cuenta que $$\int_{\mathbb{R}^n} |f_k(x)|^2\leq\int_{|x|\le k}k^{-n}\|f\|_\infty\le C$$

donde $C$ es una constante positiva, por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f_k$ hace cnverge débil para alguna función $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$.

Por otro lado, tenga en cuenta que para cada uno de ellos fijo $x\in\mathbb{R}^n$ tenemos que $$\lim_{k\to\infty} k^{-n/2}f(x/k)=0,$$

por lo tanto, tenemos dos hechos acerca de la $f_k$, es decir, converge a$0$.e. y convergers débilmente a alguna función $f$. Para concluir, se puede utilizar este post.

Answer 2

Sugerencia: débil konvergence a $0$ significa que $\int_{\mathbb R^n} f_k\overline gd\lambda\to 0,\ n\to\infty$ por cada $g\in L^2(\mathbb R^n).$ es suficiente para considerar un subconjunto denso de $g$'s. Tome por ejemplo, $g\in C_c(\mathbb R^n)$ - continuas con soporte compacto.