Rotman: Ejemplos de identificaciones que no son homeomorphisms

Question

Estoy trabajando a través de Rotman de la Topología Algebraica, y define la identificación como un mapa que éste es continuo y una asignación abierta, es decir, $f: X \to Y$ es una identificación si $U$ está abierto en $Y$ si y sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$. Entonces va a demostrar corolario 1.10 que le da una manera de construir un homeomorphism de una identificación.

Las identificaciones de parecer agradable mapas para mí que no puedo pensar en un buen ejemplo de uno que no es un homeomorphism. Tener un ejemplo podría ayudar a hacer de este corolario más concreto.

Answer 1

Tenga en cuenta que lo que Rotman es llamar a una identificación es a menudo llamado un cociente mapa, que son mapas que normalmente, pensamos como "la identificación de los" puntos de un poco de espacio para conseguir un nuevo espacio. Otros ejemplos de cociente mapas que no son homeomorphisms son

1. El cociente mapa de $\Bbb R^{n+1}\smallsetminus\{0\}\to\Bbb R\Bbb P^n$ donde $\Bbb R\Bbb P^n$ es real proyectiva $n$-espacio. Esto no es un homeomorphism debido a que el espacio proyectivo es realmente compacto, mientras que el perforado el espacio Euclidiano no es.

2. El cociente mapa que identifica los puntos correspondientes en dos copias de $\Bbb R$ a excepción de sus orígenes. El espacio resultante es conocida como la línea con dos orígenes y no es Hausdorff, a pesar de que el dominio es de Hausdorff.

3. El cociente de un espacio donde podemos identificar dos puntos de $\alpha,\beta\in\Bbb R$ si y sólo si $\alpha-\beta$ es un múltiplo entero de $2\pi$ es homeomórficos para el círculo, pero no es homeomórficos a $\Bbb R$ porque una vez más el círculo es compacto, mientras que $\Bbb R$ no lo es.

Answer 2

Nunca la mente, pensando un poco más detenidamente, tengo una idea: $I \times I$ es la unidad de la plaza, $h$ es una identificación que lleva a la plaza a un cilindro $C$ mediante la asignación de la parte superior y los bordes de la parte inferior de la misma parte del cilindro, lo que provoca $h$ a no ser un bijection. Por modding estos dos bordes juntos en el cociente espacio a continuación, obtener una homeomorphism de $I \times I \: / \sim \to C$ simplemente porque hicimos $h$ bijective.