¿Existe un $\big($grupo topológico $T_0$$\hspace{-0.02 in}\big)$ que sea conectado pero no conexo por caminos?
Si es así:
$\quad$ ¿Puede ser completo? $\:$ (con respecto a la estructura uniforme de dos lados)
$\quad$ ¿Puede ser abeliano?
$\quad$ ¿Puede ser abeliano y completo? $\:$ (simultáneamente)
Buscar en línea diversas combinaciones de "grupo topológico", "conectado",
y "conexo por caminos" no arrojó nada relacionado con esta pregunta.
Sí a todas las preguntas (como se da a entender en los comentarios, así que puse cw). De hecho, el solenoide definido como el límite inverso de la secuencia de endomorfismos sobreyectivos $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ dados por la multiplicación por 2 es un grupo compacto, metrizabable, conectado y no conexo por caminos.
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