En mi opinión, la primera pregunta es para mostrar que la dinámica de $u$ conserva la energía total. Por lo general, una membrana podría oscilar y húmedo (o resonar), mientras que la oscilación es el único caso con el conservador de la energía. Siguientes a la energía total de una membrana, que es suficiente para mostrar algo similar (pero no es exactamente, como se verá muy pronto)
$$
\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{B(0,a)}\frac{1}{2}\left(u_t^2+c^2\left\|\nabla u\right\|^2\right){\rm d}V=0,
$$
siempre que la condición de contorno $u=\mathbf{n}\cdot\nabla u$$\partial B(0,a)$. Aquí $B(0,a)$ denota el disco-como dominio centrado en$0$, con un radio de $a$, mientras que $\mathbf{n}$ representa el exterior de la unidad normal de $B(0,a)$ a lo largo de su límite de $\partial B(0,a)$.
La anterior vez derivado es sencillo de averiguar.
\begin{align}
&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{B(0,a)}\frac{1}{2}\left(u_t^2+c^2\left\|\nabla u\right\|^2\right){\rm d}V\\
&=\int_{B(0,a)}\left(u_tu_{tt}+c^2\nabla u\cdot\nabla u_t\right){\rm d}V\\
&=\int_{B(0,a)}u_tu_{tt}{\rm d}V+c^2\int_{B(0,a)}\nabla u\cdot\nabla u_t{\rm d}V\\
&=\int_{B(0,a)}u_tu_{tt}{\rm d}V+c^2\int_{B(0,a)}\left[\nabla\cdot\left(u_t\nabla u\right)-u_t\Delta u\right]{\rm d}V\\
&=\int_{B(0,a)}u_t\left(u_{tt}-c^2\Delta u\right){\rm d}V+c^2\int_{B(0,a)}\nabla\cdot\left(u_t\nabla u\right){\rm d}V\\
&=c^2\int_{B(0,a)}\nabla\cdot\left(u_t\nabla u\right){\rm d}V\\
&=c^2\int_{\partial B(0,a)}u_t\nabla u\cdot{\rm d}\mathbf{S}\\
&=c^2\int_{\partial B(0,a)}u_t\mathbf{n}\cdot\nabla u{\rm d}S\\
&=c^2\int_{\partial B(0,a)}uu_t{\rm d}S\\
&=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\partial B(0,a)}\frac{1}{2}c^2u^2{\rm d}S.
\end{align}
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que la verdadera conservación de la energía lee
$$
\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{B(0,a)}\frac{1}{2}\left(u_t^2+c^2\left\|\nabla u\right\|^2\right){\rm d}de V\int_{\parcial B(0,a)}\frac{1}{2}c^2u^2{\rm d}S\right]=0.
$$
Esta conservación implica que la membrana sólo oscila.
Como tratamos de resolver la ecuación, es de destacar la periodicidad de las $u$ con respecto al $\theta$, es decir,
$$
u(r,\theta,t)=u(r,\theta+2\pi,t)
$$
tiene para todos los $r$$t$. Gracias a esta periodicidad, $u$, se observa lo siguiente expansión de Fourier
$$
u(r,\theta,t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{u}_n(r,t)e^{\theta}.
$$
Suponga que esta serie converge absolutamente (porque sólo estamos interesados en las soluciones clásicas). Como tal, los operadores de $\partial_t$ $\Delta$ tanto conmuta con $\sum_{n\in\mathbb{Z}}$. La ecuación de onda de los rendimientos
$$
0=u_{tt}-c^2\Delta u=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\left(\hat{u}_n\right)_{tt}-c^2\left(\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\frac{n^2}{r^2}\hat{u}_n\right)\right)e^{in\theta}.
$$
Tenga en cuenta que $\left\{e^{in\theta}\right\}_{n\in\mathbb{Z}}$ es linealmente independiente, por lo que el coeficiente delante de cada una de las $e^{in\theta}$ debe desaparecer, es decir,
$$
\left(\hat{u}_n\right)_{tt}=c^2\left(\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\frac{n^2}{r^2}\hat{u}_n\right).
$$
Además, la condición de contorno $u(a,\theta,t)=u_r(a,\theta,t)$ implica
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{u}_n(a,t)e^{in\theta}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\hat{u}_n\right)_r(a,t)e^{in\theta}\iff\hat{u}_n(a,t)=\left(\hat{u}_n\right)_r(a,t).
$$
Una frecuencia natural puede ser entendida como un autovalor de a $\partial_t^2$, sujeto a la condición de contorno. Es decir, tenemos que averiguar $\nu$ que satisface
$$
u_{tt}=\nu u,
$$
sujeto a $u(a,\theta,t)=u_r(a,\theta,t)$. Tenga en cuenta que
$$
\nu\hat{u}_n=\left(\hat{u}_n\right)_{tt}=c^2\left(\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\frac{n^2}{r^2}\hat{u}_n\right).
$$
Por lo tanto tenemos que averiguar $\nu$ que satisface
$$
\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\left(\frac{n^2}{r^2}+\frac{\nu}{c^2}\right)\hat{u}_n=0,
$$
sujeto a
$$
\hat{u}_n(a,t)=\left(\hat{u}_n\right)_r(a,t).
$$
Además, ya que la membrana es suave en $r=0$, es una necesidad que
$$
u-r (\theta,t)=u(r,\theta+\pi,t)
$$
tiene para todos los $r$, $\theta$ y $t$. Esto le da, tomando la derivada con respecto al $r$,
$$
-u_r-r (\theta,t)=u_r(r,\theta+\pi,t).
$$
Así, la condición de frontera implica
$$
u(-a,\theta,t)=u(a,\theta+\pi,t)=u_r(a,\theta+\pi,t)=-u_r(-a,\theta,t),
$$
que es equivalente a
$$
\hat{u}_n(-a,t)=-\left(\hat{u}_n\right)_r(-t).
$$
Tenga en cuenta que $t$ en los últimos tres ecuaciones de $\hat{u}_n$ actúa como auxiliar de parámetros, y que es suficiente para lidiar con la siguiente ecuación diferencial ordinaria
\begin{align}
f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)-\left(\frac{n^2}{r^2}+\frac{\nu}{c^2}\right)f(r)&=0,\\
f'(a)-f(a)&=0,\\
f'(-a)+f(-a)&=0,
\end{align}
al encontrar algunas apropiados $\nu$ que le da a algunos no-cero $f$.
Tenga en cuenta que $f$ está definido por $r\in\left[-a,a\right]$. Supongamos $f$ es analítica, y se obtiene un poder de expansión de la serie en $r=0$:
$$
f(r)=\sum_{m=0}^{\infty}a_mr^m
$$
para todos los $r\in\left(-a,a\right)$. Gracias a esta expansión, el consejo de la ecuación conduce a
$$
\sum_{m=0}^{\infty}a_mm\left(m-1\right)r^{m-2}+\sum_{m=0}^{\infty}a_mmr^{m-2}-n^2\sum_{m=0}^{\infty}a_mr^{m-2}-\frac{\nu}{c^2}\sum_{m=0}^{\infty}a_mr^m=0,
$$
o, equivalentemente,
$$
\sum_{m=0}^{\infty}a_m\left(m^2-n^2\right)r^{m-2}-\frac{\nu}{c^2}\sum_{m=0}^{\infty}a_mr^m=0,
$$
o, equivalentemente,
$$
\sum_{m=-2}^{-1}a_{m+2}\left[\left(m+2\right)^2-n^2\right]r^m+\sum_{m=0}^{\infty}\left\{\left[\left(m+2\right)^2-n^2\right]a_{m+2}-\frac{\nu}{c^2}a_m\right\}r^m=0.
$$
- Si $n=0$, la primera suma implica que $a_0$ podría ser arbitraria y que $a_1=0$, mientras que la segunda implica que la suma
$$
a_{m+2}=\frac{1}{\left(m+2\right)^2}\frac{\nu}{c^2}a_m
$$
tiene para todos los $m\ge 0$. Esto le da a ese $a_1=a_3=\cdots=0$ y que
$$
a_{2k}=\frac{1}{\left(2^kk!\right)^2}\left(\frac{\nu}{c^2}\right)^ka_0
$$
para todos los $k=1,2,\cdots$. En este caso,
$$
f(r)=a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2^kk!\right)^2}\left(\frac{\nu}{c^2}\right)^kr^{2k},
$$
donde $a_0$ $\nu$ son las únicas incógnitas. Podrían ser determinada únicamente por las condiciones de frontera,$f'(a)-f(a)=0$$f'(-a)+f(-a)=0$, lo que, por desgracia, no podía ser expresada de forma explícita en una manera fácil.
- Si $n=\pm 1$, la primera suma implica que $a_0=0$ y $a_1$ podría ser arbitraria, mientras que la segunda implica que la suma
$$
a_{m+2}=\frac{1}{\left(m+2\right)^2-1}\frac{\nu}{c^2}a_m
$$
tiene para todos los $m\ge 0$. Esto le da a ese $a_0=a_2=\cdots=0$ y que cada $a_{2k+1}$ ($k\ge 0$) está determinada únicamente por $a_1$. Así, en este escenario, $a_1$ $\nu$ son las únicas incógnitas, ¿podría ser determinada por las dos condiciones de contorno.
- Si $\left|n\right|\ge 2$, la primera suma implica que $a_0=a_1=0$, mientras que la segunda implica que la suma
$$
a_{m+2}=\frac{1}{\left(m+2\right)^2-n^2}\frac{\nu}{c^2}a_m
$$
tiene para todos los $m\ne\left|n\right|-2$, $a_{\left|n\right|}$ podría ser arbitraria. Esto le da a ese $a_0=a_1=\cdots=a_{\left|n\right|-1}=0$,$a_{\left|n\right|+1}=a_{\left|n\right|+3}=\cdots=0$, y que cada $a_{\left|n\right|+2k}$ ($k\ge 1$) está determinada únicamente por $a_{\left|n\right|}$. Por tanto, en este caso, $a_{\left|n\right|}$ $\nu$ son las únicas incógnitas, ¿podría ser determinada por las dos condiciones de contorno.
Recordemos que
$$
u(r,\theta,t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{u}_n(r,t)e^{\theta},
$$
donde
\begin{align}
\left(\hat{u}_n\right)_{tt}-c^2\left(\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\frac{n^2}{r^2}\hat{u}_n\right)&=0,\\
\left(\hat{u}_n\right)_r(a,t)-\hat{u}_n(a,t)&=0.
\end{align}
Las condiciones iniciales de rendimiento
$$
u(r,\theta,0)=0\ffi\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{u}_n(r,0)e^{\theta}=0\ffi\hat{u}_n(r,0)=0
$$
y
$$
u_t(r,\theta,0)=\alpha(r)\pecado 3\theta\ffi\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\hat{u}_n\right)_t(r,0)e^{\theta}=\alpha(r)\pecado 3\theta=\alpha(r)\frac{e^{i3\theta}-e^{-i3\theta}}{2i},
$$
el último de los cuales es equivalente a
\begin{align}
\left(\hat{u}_3\right)_t(r,0)&=\frac{1}{2i}\alpha(r),\\
\left(\hat{u}_{-3}\right)_t(r,0)&=-\frac{1}{2i}\alpha(r),\\
\left(\hat{u}_n\right)_t(r,0)&=0,&&n\ne\pm 3,
\end{align}
o de una manera uniforme,
$$
\left(\hat{u}_n\right)_t(r,0)=\frac{n}{6i}\alpha(r)\delta_{9,n^2},
$$
donde $\delta$ denota la delta de Kronecker.
Para resumir, la inicial-límite-el problema del valor requiere para resolver
\begin{align}
\left(\hat{u}_n\right)_{tt}-c^2\left(\left(\hat{u}_n\right)_{rr}+\frac{1}{r}\left(\hat{u}_n\right)_r-\frac{n^2}{r^2}\hat{u}_n\right)&=0,\\
\left(\hat{u}_n\right)_r(a,t)-\hat{u}_n(a,t)&=0,\\
\left(\hat{u}_n\right)_r(-a,t)+\hat{u}_n(-a,t)&=0,\\
\hat{u}_n(r,0)&=0,\\
\left(\hat{u}_n\right)_t(r,0)&=\frac{n}{6i}\alpha(r)\delta_{9,n^2}
\end{align}
para todos $n\in\mathbb{Z}$, $r\in\left[-a,a\right]$ y $t\ge 0$. Por desgracia, una sencilla expresión para esto parece imposible: la solución general de testigos bastante complicada forma, mientras que los parámetros en el mismo determinado por las condiciones iniciales y de contorno son altamente improbable que se expresa en una forma explícita.
