Dos puntos de vista sobre edificable conjuntos

Question

Esta pregunta está dirigida a la comprensión de la relación entre dos definiciones distintas de la edificable establece en un Noetherian esquema, de la que me he encontrado en Atiyah-MacDonald Introducción al Álgebra Conmutativa (en adelante AM). De ello se desprende una pregunta que le hice antes, que estaba muy bien respondidas por el usuario hot_queen.

El programa de instalación:

Deje $X$ a un y $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset 2^X$ una familia de subconjuntos de a $X$ que es cerrado bajo intersección finita, por lo que sirve como base para una topología $\mathscr{T}$.

Deje $\mathscr{F}$ ser el más pequeño de la familia de subconjuntos de a $X$ que contiene $\mathscr{T}$ y es cerrado bajo la complementación y de la intersección finita. Por el ejercicio 20 de ch. 7 AM, $\mathscr{F}$ es equivalente a la familia de finito de los sindicatos locales, conjuntos cerrados. SOY la define como la edificable conjuntos en el ejercicio 21 del mismo capítulo.

Mientras tanto, vamos a $\mathscr{G}$ ser el más áspero de la topología en la que todos los $U_\lambda$ es clopen. En los ejercicios 27 y 28 del capítulo 3 de la mañana, se demuestra que si $X$ es la Especificación de un anillo de $B$ e las $U_\lambda$'s son la norma básica se abre de la topología de Zariski, entonces este es, precisamente, la topología en la que las imágenes en $X$ de las Especificaciones de todos los $B$-álgebras son tomados como los conjuntos cerrados. SOY la define como la edificable de la topología en el ejercicio 27. SOY observa que los conjuntos cerrados son exactamente las imágenes de las Especificaciones, por lo que deduzco que es de los conjuntos cerrados de esta topología (es decir, la imagen en $2^X$ de la familia $\mathscr{G}$ bajo la complementación de cada uno de los miembros; llamarlo $\mathscr{G}^c$) que me quiere decir para referirse a como edificable.

$\mathscr{F}$ no es igual a $\mathscr{G}$ o $\mathscr{G}^c$ en la generalidad en la que he definido. De hecho, $\mathscr{G}$ depende de la base de $\{U_\lambda\}$ elegido para$\mathscr{T}$, mientras que de $\mathscr{F}$ sólo depende de $\mathscr{T}$. Ver hot_queen la respuesta a mi pregunta vinculado anteriormente por los bellos ejemplos sencillos de las diferencias. (Yo enmarcada esa pregunta en términos de $\mathscr{F}$ vs $\mathscr{G}$, ya que se me olvidó el contexto en el AM ch. 3 de la def. de $\mathscr{G}$, pero los ejemplos muestran la misma para $\mathscr{G}^c$ porque $\mathscr{F}$ es invariante bajo la complementación.)

Supongo, sin embargo, desde que SOY es usar la misma palabra para ellos, que si $X$ es la Especificación de un noetherian anillo, $\mathscr{T}$ es la topología de Zariski, y $\{U_\lambda\}$ son la norma básica establece $X_f$ de esta topología (es decir, las Especificaciones de las localizaciones de la base del anillo en elementos individuales), entonces $\mathscr{F}$ coincide con $\mathscr{G}^c$. Así:

Mis preguntas:

1) ¿Es esto cierto? (I. e. que $\mathscr{F}=\mathscr{G}^c$ si $X$ es la Especificación de un Noetherian anillo, $\mathscr{T}$ es la topología de Zariski, y el $\{U_\lambda\}$'s son el estándar de Zariski base se abre?)

2) Si sí, que si alguno de estos supuestos puede ser aflojado? ¿Sigue siendo cierto si utilizamos una base diferente para la topología de Zariski (por ejemplo, la topología completa)? Si sí, qué importa base? Si no es así, puede la declaración de aflojar para si acabamos de asumir $(X,\mathscr{T})$ es un noetherian espacio (en lugar de la Especificación de un noetherian anillo)? Y ¿cuáles son las pruebas y/o contraejemplos?

Gracias de antemano.

Answer 1

No, $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}^c$ suelen ser muy diferentes. Por ejemplo, supongamos $X$ es irreductible, Noetherian, y $1$-dimensional, por lo que tiene un punto genérico $g\in X$ y un conjunto no vacío $U\subseteq X$ es Zariski-abrir el fib contiene $g$ y es cofinite. A continuación, $\mathscr{F}$ se compone de los conjuntos que están cofinite y contener $g$ o son finitos y no contienen $g$. Pero $\mathscr{G}$ contiene cada singleton otros de $\{g\}$, y por lo tanto contiene todos los subconjuntos de a $X\setminus\{g\}$ ya que es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos. Por lo $\mathscr{G}^c$ contiene todos los subconjuntos de a $X$ contiene $g$ (de hecho, consiste de exactamente los conjuntos que contienen $g$ o son finitos).

Lo cierto es que $\mathscr{F}=\mathscr{G}\cap\mathscr{G}^c$. Es decir, la edificable conjuntos son la clopen establece en el edificable de la topología. De hecho, esto es cierto para la Especificación de cualquier anillo de tan largo como cambiar la definición de $\mathscr{F}$ ligeramente: $\mathscr{F}$ debe ser el más pequeño de la colección de conjuntos con las Zariski-abrir conjuntos de $U_\lambda$ y cerrada bajo finito de operaciones Booleanas (en el que no Noetherian caso, esto es diferente de su $\mathscr{F}$ ya que no todos los Zariski-conjunto abierto puede ser obtenida como finita de la unión de open básica de conjuntos).

Con esta definición, vamos a demostrar que $\mathscr{F}=\mathscr{G}\cap\mathscr{G}^c$ siempre. Claramente $\mathscr{F}\subseteq\mathscr{G}\cap\mathscr{G}^c$. Para demostrar que la inversa de la inclusión, en primer lugar, muestran que el $\mathscr{G}$-topología es compacto. Para mostrar esto, suponga que tiene una colección de conjuntos, cada uno de los cuales es básico abierto o cerrado con respecto a la topología de Zariski, y estos conjuntos tienen la intersección finita de la propiedad; queremos demostrar su intersección es vacía. Deje $\{U_i\}$ básico para abrir establece en su familia y $\{C_j\}$ ser los conjuntos cerrados; podemos suponer que cada una de estas colecciones es cerrado bajo intersecciones finitas. Tenga en cuenta que cualquier conjunto abierto es compacto en la topología de Zariski (ya que es la Especificación de una localización del anillo), y por lo $U_i\cap \bigcap C_j$ todavía no vacío para cada una de las $i$. Por lo tanto la escritura $C=\bigcap C_j$, la familia $\{U_i\}\cup\{C\}$ todavía tiene la intersección finita de la propiedad. Pero ahora $C$ es un subconjunto cerrado de $X$, por lo que es la Especificación de algunas anillo de $A$, y los conjuntos de $U_i\cap C$ son los conjuntos de primer ideales de $A$ que no contengan $f_i$, para algunos de los elementos $f_i\in A$. La intersección finita de la propiedad de estos conjuntos dice que para cualquier colección finita de la $f_i$, el multiplicatively conjunto cerrado que generan no contiene $0$. De ello se desprende que la multiplicatively conjunto cerrado que todas las $f_i$ generar no contiene $0$. Por lo tanto la localización en este multiplicatively conjunto cerrado, se obtiene un valor distinto de cero anillo, y cualquier otro primer ideal en este anillo le da un punto de $C\cap\bigcap U_i$.

Ahora supongamos $C\subseteq X$ es clopen para el $\mathscr{G}$-topología. Desde $C$ está abierto, se puede escribir como una unión de conjuntos de $\mathscr{F}$. Puesto que el $\mathscr{G}$-topología es compacto y $C$ es cerrado, $C$ es compacto, así que en realidad sólo un número finito de nuestros juegos de $\mathscr{F}$ necesario para cubrir $C$. Desde $\mathscr{F}$ es cerrado bajo finito sindicatos, $C\in\mathscr{F}$.

Un argumento similar puede ser mostrado para trabajar más generalmente, cuando usted tiene un espacio topológico $X$ que es sobrio y de tal manera que el pacto abrir los subconjuntos de a $X$ es cerrado bajo intersecciones finitas y formar una base para la topología de $X$ (en particular, esto se aplica a cualquier Noetherian sobrio espacio, ya que cualquier subconjunto de un Noetherian espacio es compacto). Dejando $\mathscr{F}$ denotar la colección de conjuntos generados por el pacto abrir los subconjuntos de a $X$ bajo finito de operaciones Booleanas y $\mathscr{G}$ denotar la topología generada por $\mathscr{F}$, podemos demostrar que la clopen conjuntos para la topología $\mathscr{G}$ son exactamente los elementos de $\mathscr{F}$. (La sobriedad de $X$ es utilizado en lugar del anillo de la teoría de la argumentación me dio por encima de ese $C\cap\bigcap U_i$ es no vacío.)

De hecho, sin embargo, este resultado no es en realidad más general, debido a que los espacios de $X$ la satisfacción de las hipótesis anteriormente (llamado espectral espacios) son exactamente los espacios que se homeomórficos a las Especificaciones de un anillo. Esto es bastante difícil teorema de Hochster; consulte este documento para una prueba y mucho más en la teoría general de la espectral de espacios (la topología $\mathscr{G}$ es lo que Hochster llama a la revisión de la topología).