Hace unos años, en un curso de astronomía, calculamos alguna velocidad (¿transversal?) de un objeto en movimiento y obtuvimos resultados superlumínicos. La respuesta era la velocidad aparente y no la física del objeto. Por lo tanto, no hay problema. Pero en este momento, no recuerdo la solución a esta cuestión aparente. ¿Alguien?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El cálculo de la velocidad era la distancia*(cambio de ángulo). Sin embargo, esto no tiene en cuenta la cambiando retraso temporal de la luz: la vemos acelerada porque el retraso temporal va disminuyendo, como en una grabación de televisión en la que se avanza rápidamente mientras se va alcanzando el tiempo real. Afortunadamente, todo lo que tenemos que hacer para calcular la velocidad real es tener en cuenta el retardo temporal, no es necesaria ninguna relatividad extraña.
Supongamos que un objeto lejano se acerca a $0.8c$ y tiene una velocidad transversal de $0.25c$ (velocidad total de $0.84c$ ). Emite una ráfaga de luz (en nuestro marco) en el momento $t$ y $t+5$ segundos. Es $d$ segundos de luz de nosotros en el momento $t$ y $d-4$ en $t+5$ . Teniendo en cuenta el retardo de la luz, vemos destellos en el tiempo $t+d$ y $t+5+(d-4) = t+d+1$ ; sólo los vemos $1$ segundo aparte. En esos $5$ segundos, se movió transversalmente una distancia de $5\times0.25 = 1.25$ segundos de luz. Como parecía que se movía $1.25$ segundos de luz en $1$ segundo, vemos un aparente movimiento superlumínico.
Niels Bosma
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Esta pregunta ya tiene dos buenas respuestas, pero necesitaba una excusa para aprender tikz, así que aquí está mi respuesta.
Esta velocidad "transversal" puede ser más rápida que la velocidad de la luz $c$ si el objeto se acerca a usted lo suficientemente rápido. Para ver cómo funciona, mira el siguiente diagrama.
Aquí el objeto se mueve a una velocidad $\beta c$ pero no se mueve perpendicularmente a tu línea de visión. Se está moviendo en un ángulo $\theta$ a la línea de visión.
¿Cómo se puede estimar la velocidad de este objeto? Una forma ingenua sería dividir el desplazamiento transversal observado por el tiempo de duración observado.
Veamos cuáles son estas dos cantidades cuando la duración real del tiempo es $ T_{\mathrm{actual}}$ . En este tiempo el objeto se moverá una distancia real $v T_{\mathrm{actual}}$ . Su desplazamiento transversal aparente será $d=v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta$ .
¿Cuál será la duración del tiempo observado? No será $ T_{\mathrm{actual}}$ porque los rayos de luz de la posición final tienen una ventaja con respecto a los rayos de luz de la posición inicial. La longitud de esta ventaja es $v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta$ . Como la luz se mueve a $c$ esto se traduce en una aceleración del tiempo de $v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c$ . Eso es lo más rápido que "debería" llegar la luz final. Por lo tanto, la diferencia de tiempo observada es más corta que la diferencia de tiempo real en esta cantidad. Obtenemos que la diferencia de tiempo observada es $T_{\mathrm{observed}} = T_{\mathrm{actual}} - v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c = T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)$ .
La velocidad observada es entonces $\frac{v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta}{T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)} =\frac{v \sin \theta}{1 - \frac{v}{c} \cos \theta}$ . Enchufar $v=\beta c$ obtenemos que la velocidad observada es $c \frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$ . Para obtener una velocidad observada mayor que $c$ necesitamos $\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}>1$ . Recogiendo $\theta = 45^\circ$ esto se convierte en $\frac{\beta } {\sqrt{2}-\beta }>1$ . Esta desigualdad se consigue para $\beta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ por lo que las velocidades superlumínicas pueden ser "observadas".
Chris
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11
Gran respuesta @Kevin, voy a reescribirla con otras letras.
Nota: A continuación sólo se aplica la mecánica clásica.
Supongamos que un objeto lejano tiene una velocidad que satisface (en unidades donde la velocidad de la luz $c:=1$ ) $$v^2 = v_{\perp}^2+v_{\|}^2<1^2\tag1$$ donde $v_{\perp}$ denota su velocidad perpendicular (a nuestra línea de visión) y $v_{\|}$ su velocidad paralela a nuestra línea de visión. Emite una ráfaga de luz (en nuestro marco) en momentos $t$ y $t+\tau.$
Si $d_t$ denota la distancia al objeto en el momento $t$ entonces su distancia en el momento $t+\tau$ es $$d_{t+\tau} = d_t-v_{\|}\tau.$$
¿Cuándo nos llegará la luz?
La luz emitida en el momento $t$ nos llegará a la hora $$t+d_t$$ (al menos, ya que su distancia era $d_t$ y nada viaja más rápido que la luz).
La luz emitida en el momento $t+\tau$ nos llegará a la hora $$t+\tau+d_{t+\tau}$$ pero esto es igual a $$ t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau). $$
Así, veremos dos destellos de luz separados por un tiempo $$\Delta t = t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau) - \big[t+d_t\big]\\=\tau\cdot(1-v_{\|}).$$
Durante el tiempo de tamaño $\tau$ el objeto se ha movido una distancia de $$d_{\perp} = v_{\perp}\cdot \tau,$$ perpendicular a nuestra línea de visión. Pero como vemos que los destellos aparecen con el tiempo $\Delta t$ aparte, calcularemos la velocidad transversal (aparente) del objeto a ser $$v_{\perp}^a(v_\perp,v_\|) = \frac{d_{\perp}}{\Delta t}\\ =\frac{v_{\perp}}{1-v_{\|}}$$ donde $v_\perp,v_\|$ (debería en principio) satisfacer la condición $(1).$
Ahora, introduciendo algunos números, por ejemplo $v_\perp=\frac{1}{4}$ y $v_\|=\frac{4}{5}$ obtenemos $$v_{\perp}^a(1/4,4/5) = \frac{5}{4}>1.$$ Al ser mayor que 1 (es decir, mayor que la velocidad de la luz en el vacío $c$ ) podría interpretarse entonces como un movimiento superlumínico.
