¿Un resultado de módulos planos que *necesita* ocuparse de la *construcción* del producto tensorial?

Question

Existe un buen resultado relativo a los módulos planos sobre un anillo:

Si todo submódulo finitamente generado de un módulo $M$ es plana, entonces $M$ es plana.

Sin embargo, la prueba que he leído en el libro de Rotman Álgebra homológica es bastante desordenado IMHO. De hecho, viola la regla de oro de los productos tensoriales: ¡nunca use su construcción, use su propiedad universal! ¡!

Adjunto la prueba al final del post. El "lío" está en el lema.

Así que la pregunta es:

• ¿Existe una prueba más limpia, también tan elemental? (Rotman apenas ha definido los módulos planos en ese punto, además de demostrar algunas propiedades elementales)

(Estoy pensando que tal vez esta prueba se puede traducir para utilizar la propiedad universal...)

Si conoce una prueba que no sea tan elemental, por favor hacer Publícalo de todos modos, debería ser interesante.

• Si cree que no, ¿podría dar una heurística* de por qué cree que no hay una prueba más limpia? es decir, ¿cuál es la razón fundamental (si la hay) de tener que lidiar necesariamente con el construcción del producto tensorial en la demostración de este teorema?

*No soy experto en el uso de la palabra "heurística", me disculpo de antemano si está mal utilizada ;)

Answer 1

Dejemos que $\mathcal F$ es el conjunto de todos los submódulos finitos de $M$ ordenados por inclusión, de modo que $M=\varinjlim\limits_{F\in\mathcal F}F$ .

Dejemos que $$0\to N_1\to N_2\to N_3\to 0 \qquad\qquad(\star)$$ sea una secuencia exacta de módulos de izquierda, y supongamos que todos los elementos de $\mathcal F$ son planas, de modo que para cada $F\in\mathcal F$ la secuencia $$0\to F\otimes N_1\to F\otimes N_2\to F\otimes N_3\to 0$$ es exacta.

Como el límite directo de las secuencias exactas cortas es una secuencia exacta, tomando el límite de estas secuencias como $F$ varía en $\mathcal F$ nos proporciona una secuencia exacta $$0\to\varinjlim\limits_{F\in\mathcal F}(F\otimes N_1)\to\varinjlim\limits_{F\in\mathcal F}(F\otimes N_2)\to\varinjlim\limits_{F\in\mathcal F}(F\otimes N_3)\to0$$

Ahora, el functor $(-)\otimes N_i$ conmuta con los límites directos -porque es un adjunto a la izquierda- por lo que para cada $i$ tenemos $$M\otimes N_i=\varinjlim\limits_{F\in\mathcal F}(F\otimes N_i)$$ por lo que la secuencia exacta anterior es de hecho isomorfa a una de la forma $$0\to M\otimes N_1\to M\otimes N_2\to M\otimes N_3\to0$$

Después de comprobar que todos los mapas son los que deben ser, vemos que el tensado $(\star)$ con $M$ preservó la exactitud, por lo que $M$ es plana.

Nota 1. La única información sobre el producto tensorial que se necesita para hacer todo esto es que es un adjunto a la izquierda; el resto es simplemente una tontería general genérica.

Nota 2. En todo límite directo en lo que escribí significa límite directo dirigido .

Answer 2

Como dije en el comentario creo que la razón por la que va a la construcción explícita, es que para usar la propiedad universal tendría que usar mucha de la maquinaria que parece evitar.

La prueba más hábil utiliza el teorema de Lazard, que dice que los módulos planos son precisamente el límite directo de los módulos libres f.g. En efecto, si $\{M_\alpha\}$ denota el conjunto de submódulos f.g. de $M$ entonces es un hecho común que $\displaystyle \varinjlim_\alpha M_\alpha=M$ y por el teorema de Lazards para cada $\alpha$ tenemos que $\displaystyle M_\alpha=\varinjlim_\beta F_{\alpha,\beta}$ para algún módulo libre f.g. $F_{\alpha,\beta}$ . Entonces,

$$M=\varinjlim_\alpha\;\;\varinjlim_\beta F_{\alpha,\beta}=\varinjlim_{(\alpha,\beta)}F_{\alpha,\beta}$$

y así $M$ es un límite directo de los módulos libres de f.g., y así de plano.

EDIT: Aunque, en retrospectiva, ¡estoy tratando de recordar si se necesita este resultado para demostrar el teorema de Lazard!