La serie de Grandi : $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$$ He oído hablar muchas veces de la serie de Grandi y también he leído sobre ella en este sitio . En algunas fuentes , es igual a $\frac{1}{2}$ ¡y en el otro es indefinido! Estoy confundido. Quiero saber cuál es la respuesta correcta y por qué es cierta? (Por favor, responda con palabras sencillas)
Por favor, ¡ayuda!
Hay muchas formas de asignar un número finito a una serie infinita. Tomar su suma real (definida al tomar el límite de las sumas parciales) es una, pero hay otras formas (mucho más teóricas) que las simples sumas. Muchas de ellas dan respuestas a series que no son realmente convergentes. Las mejores coinciden con las sumas si la serie es convergente y dar respuestas finitas en algunas series que no son convergentes. Véase, por ejemplo Resumen de Cesaro y Suma de Abel .
La mayoría de los métodos que coinciden con las sumas en series convergentes pero dan un finito respuesta a $\sum_{n = 0}^\infty (-1)^n$ dan efectivamente la respuesta $\frac12$ . Pero esos son no sumas en sentido estricto.
Por cierto, si alguna vez te encuentras con la afirmación $\sum_{n = 1}^\infty n = -\frac1{12}$ mi respuesta será la misma, y la he dado varias veces sobre esa misma pregunta en este sitio.
De Wikipedia :
Sabemos que la suma de una serie infinita se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales, si existe. La sucesión de sumas parciales de la serie de Grandi es $1, 0, 1, 0, ...$ que claramente no se acerca a ningún número (aunque tiene dos puntos de acumulación en $0$ y $1$ ). Por lo tanto, la serie de Grandi es divergente.
El método de Cesaro para sumar series divergentes : La idea básica es similar al enfoque probabilístico de Leibniz: esencialmente, la suma de Cesàro de una serie es la media de todas sus sumas parciales. Formalmente se calcula, para cada $n$ la media $\sigma_{n}$ de la primera $n$ sumas parciales, y toma el límite de estas medias de Cesàro como $n$ va al infinito.
Para la serie de Grandi, la secuencia de medias aritméticas es $1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8, …$ o, más sugestivamente, $(1/2+1/2), 1/2, (1/2+1/6), 1/2, (1/2+1/10), 1/2, (1/2+1/14), 1/2, …$ donde $\sigma _{n}={\frac {1}{2}}$ para incluso $n$ y $\sigma _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}$ para impar $n$ .
Esta secuencia de medias aritméticas converge a $1/2$ por lo que la suma de Cesàro de $\sum a_{k}$ es $\frac{1}{2}$ . Equivalentemente, se dice que el límite de Cesàro de la secuencia $1, 0, 1, 0, …$ es $\frac{1}{2}$ .
La serie es divergente. Convergería si y sólo si hubiera algún número real $l$ con la propiedad de que $l=\mathrm{lim}_{k\rightarrow\infty}\Sigma_{n=0}^{k} (-1)^{n}$ . Si ese fuera el caso, entonces para cada número real $\epsilon>0$ por pequeño que sea, podríamos encontrar un entero no negativo $N$ con la propiedad de que $\vert\Sigma_{n=0}^{k} (-1)^{n}-l\vert<\epsilon$ para todos $k$ tal que $k\geq N$ . En particular, se deduce que si $k_{1}$ y $k_{2}$ son dos enteros no negativos cualesquiera que $k_{1}, k_{2} \geq N$ Tendríamos $\vert \Sigma_{n=0}^{k_{1}} (-1)^{n} - \Sigma_{n=0}^{k_{2}} (-1)^{n} \vert<2\epsilon$ . Pero entonces considere el caso en el que $\epsilon=\frac{1}{2}$ . Entonces se deduce que para algún número entero no negativo suficientemente grande $N$ nunca podemos tener dos enteros no negativos $k_{1}, k_{2}$ tal que $k_{1}, k_{2} \geq N$ y $\vert \Sigma_{n=0}^{k_{1}} (-1)^{n} - \Sigma_{n=0}^{k_{2}} (-1)^{n} \vert =1$ . Pero está claro que siempre es posible encontrar dos enteros no negativos $k_{1}, k_{2}$ que hará que eso ocurra sin importar el tamaño $N$ es. Así que debemos concluir que el límite de las sumas parciales de la serie no existe y la serie no es convergente. Esto significa que, según el uso estándar, la expresión $\Sigma_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}$ no está bien definido.
Es sólo una cuestión de definiciones. Si usted definir el símbolo $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$ como el límite de sus sumas parciales (por ejemplo, el límite de la secuencia $(1), (1 -1), (1-1+1), (1-1+1-1), \cdots)$ que es la definición habitual, entonces la suma es divergente. Pero si definir el símbolo como $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$ algo más (como la definición de Cesaro Summation), entonces se puede conseguir que este símbolo sea igual a otros valores (incluyendo $\dfrac 12$ )
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