¿Existe un ejemplo de un mapeo conforme del disco sobre sí mismo que no sea inyectivo? Si no es así, ¿cómo podemos demostrar que no existe tal mapa?
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Respuesta
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No conozco un ejemplo sencillo, pero aquí hay una construcción que funciona.
Dejemos que $D^2$ sea el disco unitario abierto, y sea $U$ ser un $C^\infty$ difeomorfo al disco unitario abierto. Sea $f\colon U \to D^2$ ser un $C^\infty$ con las siguientes propiedades:
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$f$ es sobreyectiva pero no inyectiva.
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$f$ es un difeomorfismo local.
Debería estar claro, desde el punto de vista geométrico, que ese mapa existe. (Véase esta pregunta .) Entonces la estructura compleja en $D^2$ ascensores a través de $f$ a una estructura compleja en $U$ bajo el cual $f$ se convierte en un mapa holomorfo.
Desde $U$ está simplemente conectado, el teorema de uniformización afirma que $U$ debe ser conformemente equivalente a la esfera de Riemann, al plano complejo o al disco unitario abierto. Dado que $f$ es una función holomorfa acotada y no constante sobre $U$ se deduce de Teorema de Liouville que $U$ debe ser conformemente equivalente al disco unitario abierto, por lo que existe un biholomorfismo $g\colon D^2 \to U$ . Entonces la composición $f\circ g$ es el mapa deseado.
Por supuesto, el teorema de uniformización es sólo una declaración de existencia, por lo que esta prueba no es constructiva. En la práctica, sin embargo, muchas de las técnicas habituales para aproximar Mapas de Riemann debería funcionar bastante bien para aproximar $g$ .
