La forma cerrada para $\int^{\pi}_0 \frac{\sin^2 (y)}{a+\cos(y)} \cos(ny) dy$ por entero $n$

Question

Me encontré con esta integral cuando se trata de obtener una serie de Fourier para la función en el interior (en relación a esta pregunta).

Mathematica da la siguiente solución general (sólo válido para $|a|>1$), que contiene regularización de la función hipergeométrica generalizada:

$$A_n=\frac{2}{\pi} \int^{\pi}_0 \frac{\sin^2 (y)}{a+\cos(y)} \cos(ny) dy=$$

$$a=\frac{4} {- 1} \left(\, _3\tilde{F}_2\left(1,\frac{3}{2},2;2-n, n+2;-\frac{2} {- 1}\right)-3 \, _3\tilde{F}_2\left(1,\frac{5}{2},3;3-n, n+3;-\frac{2} {- 1}\right)\right)$$

Alguna información acerca de esta función en particular es de aquí. No puedo entender si las fórmulas en estas página son de carácter general o no, y si lo puedo aplicar en mi caso.

Sin embargo, espero que esta expresión sea más sencilla para los valores enteros de a $n$. Y, de hecho, Mathematica dar a las expresiones explícitas a a $n=10$. Los primeros son:

$$A_0=2(a-\sqrt{a^2-1})$$

$$A_1=1-2a(a-\sqrt{a^2-1})$$

$$A_2=2 \sqrt{a^2-1}~~ (1-2a(a-\sqrt{a^2-1}))$$

$$A_3=2 \sqrt{a^2-1} ~~ ((4a^2-1)(a-\sqrt{a^2-1})-2a)$$

Técnicamente, estos $10$ expresiones son suficientes para la práctica puproses, especialmente para el caso de $a>2$, ya que se vuelven muy pequeños.

Sin embargo, sería genial si hay algún general de simplificación (por lo que puede deshacerse de la función especial).

Answer 1

Extender la integración de dominio a $[-\pi,\pi]$ utilizando la paridad, a continuación, utilizando de nuevo la paridad reemplace$\cos ny$$e^{in y}$, y, finalmente, hacer el cambio de variables $e^{iy}=z$. El resultado es una integral a lo largo del círculo unidad $|z|=1$ orientada hacia la izquierda: $$A_n=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{\left(z-z^{-1}\right)^2 z^{n}dz}{\left(z+a+\sqrt{a^2-1}\right)\left(z+a-\sqrt{a^2-1}\right)}.$$ Ahora por residuos obtenemos $$A_{n\ge2}=-\operatorname{res}_{z=-a+\sqrt{a^2-1}}\frac{\left(z-z^{-1}\right)^2 z^{n}}{z+a+\sqrt{a^2-1}}=2(-1)^{n+1}\sqrt{a^2-1}\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)^{n}.$$