Otra forma de calcular $\pi_4(S_3)$: contradicción en los espectral de la secuencia de cálculo

Question

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ Decidí que iba a intentar otra manera de calcular $\pi_4(S_3)$. Tomar la fibration $S_3 \to K(\Z,3)$ con fibra define a ser $X_4$. Quiero directamente el uso de este fibration.

A partir de la forma habitual de informática $\pi_4(S_3)$, sé que $H^4(X_4)=0$$H^5(X_4)=\Z/2$. (Brevemente, de continuar(loop) por encima de la fibration a la izquierda para conseguir el fibration $K(\Z,2) \hookrightarrow X_4 \to S_3$ y, a continuación, utilizar que la clase fundamental de $K(\Z,2)$ se envía a la clase fundamental de $S_3$ $d_3$ en el cohomology Serre Espectral de la Secuencia. El uso de leibniz regla, conseguir que el $d_3^{0,4}$ es la multiplicación por $2$ mapa. Desde $d_3^{3,2}$ es el cero mapa, $H^5(X_4)=\Z/2$).

De vuelta a la espectral de la secuencia de la fibration $X_4 \hookrightarrow S_3 \to K(\Z, 3)$

Ahora voy a utilizar, que yo sepa el cohomology de los tres espacios en el fibration: $H^*(K(\Z,3))=\Z[j]$ donde $j$ tiene grado 3. La única posible diferencial que podría deshacerse de la $\Z/2=E_2^{0,5}$$d_6: \Z/2=E_5^{0,5} \to \Z=E_5^{6,0}$. Pero $d_6$ debe ser cero ya que no hay homomorphisms de $\Z/2 \to \Z$ $E_2^{0,5}=E_5^{0,5}$ sobrevive a $E_\infty$. Por lo tanto,$H^6(S_3) \neq 0$. Contradicción.

¿Cuál es el error en mi cálculo de la secuencia espectral de $X_4 \hookrightarrow S_3 \to K(\Z, 3)$?

Answer 1

No es cierto que $H^*(K(\mathbb{Z},3))=\mathbb{Z}[j]$ donde $j$ es la canónica de la clase en el grado $3$. De hecho, desde que el producto debe ser gradual, conmutativa y $j$ tiene el grado $3$, $j^2=(-1)^{|j||j|}j^2=-j^2$, por lo $2j^2=0$ (y de manera similar para todos los poderes superiores de $j$). De hecho, $j^2\neq 0$ y genera $H^6(K(\mathbb{Z},3))$, lo $H^6(K(\mathbb{Z},3))=\mathbb{Z}/2$, no $\mathbb{Z}$ como usted dice, y su diferencial $d_6$ es distinto de cero y mata a $E^{0,5}_2$.

(Además de a $j^2$ con el fin de $2$, $H^*(K(\mathbb{Z},3))$ también tiene un montón de elementos en mayor grado que no están en el sub-anillo generado por $j$.)

Answer 2

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ Aquí es cómo calcular $\pi_4(S_3)$ directamente con su fibration, y el uso de los cálculos que se hicieron en Contradicción espectral de la secuencia de $K(\mathbb{Z},3)$. Se mostró que el $H^5(K(\Z,3))=0$ y $H^6(K(\Z,3))=\Z/2$. Tenemos $d_5^{0,4}=0$ y ya no hay nada para matar o deshacerse de $E_6^{0,4}$, $H^4(X_4)=0$. Ya que no hay nada para deshacerse de $E_7^{0,5}$ o matar $E_7^{6,0}$, $d_6^{0,5}$ debe ser un isomorfismo lo $H^5(X_4)=\Z/2$

Usando exactamente la misma secuencia $ 0 \to Ext(H^{5}(X_4),\Z) \to H_4(X_4,\Z) \to Hom(H^4(X,\Z),\Z) \to 0 $,$\pi_4(S_3)=H_4(X_4, \Z)=\Z/2$.