El valor de los "duros" no estándar de análisis de

Question

Primero de todo, quiero dejar claro lo que NO le estoy pidiendo. No estoy esperando para hacer un refrito de las implicaciones del análisis no estándar en el cálculo. Más bien, estoy interesado en su uso en el "más difícil" de matemáticas. Actualmente estoy leyendo a través de Goldblatt de Conferencias sobre la Hyperreals y de trabajo en las secciones posteriores, en donde él habla de las maneras de reformular otras áreas de la matemática en lenguaje no estándar (por ejemplo, Loeb medidas). Estoy tratando de entender cuál es el propósito de esto es.

Entiendo que no estándar no nos lleva a nuevos resultados, que es que no hay nada que podamos probar en un anormales de marco que no podemos probar más antigua ZFC. También entiendo que en general no estándar nos permite ver los espacios que trabajan en una forma más intuitiva", por ejemplo, Loeb medidas nos permiten ver la medida de Lebesgue en una más finitary luz, pero no tengo mucho de un sentido de lo que esta más a la intuición que parece cuando en realidad estamos tratando de demostrar declaraciones.

Entonces, ¿cuál es el uso de análisis no estándar en su sentido más amplio? Para aquellos de ustedes que estudian/uso/enseñar, ¿qué ve usted como la compra de más "estándar" análisis?

Answer 1

Yo sólo voy a dar un fragmento de una respuesta. "¿qué ve usted como la compra de más de 'estándar' análisis?" He aquí una pequeña idea que creo que puede ser que nunca se han producido sin Robinson NSA:

• (Esta parte estaba allí antes de Robinson de la NSA, en la forma de una intuitiva declaración). Supongamos $f:\mathbb R \to \mathbb R.$, Entonces la continuidad de la $f$ $a$ significa que si $\varepsilon$ es infinitamente pequeño, entonces también lo es $f(a+\varepsilon) - f(a)$. Por lo tanto $f$ es continua en todas partes si que es válido para cada real número $a$.
• Pero $f$ es uniformemente continua si el mismo es cierto no solo en cada número real $a$, pero también todos los no estándar número real $a$, incluyendo aquellos infinitamente cerca de algún número real, y también incluyendo aquellos que son infinitamente grande. Por ejemplo, supongamos $f(x)=e^x$. Entonces si $a>0$ es infinito, entonces usted puede tener $f(a+\varepsilon) -f(a)=1$ aunque $\varepsilon$ es infinitamente pequeño, ya que la tasa de crecimiento de $a\mapsto e^a$ es infinitamente grande al $a$ es infinitamente grande. Por lo tanto $a\mapsto e^a$ no es uniformemente continua. Asimismo, supongamos $f(x) = \sin(1/x).$ al $a>0$ es infinitamente cercana a $0$, usted puede tener $f(a+\varepsilon)-f(a) = 2$ aunque $\varepsilon$ es infinitamente pequeño. Por lo tanto $f$ no es uniformemente continua.

Answer 2

En la década de 1960 Bernstein y Robinson utiliza la NSA para demostrar por primera vez que un exponencialmente compacta de operador en el espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante.

Halmos, posteriormente, reescribió su prueba en condiciones estándar. En el resumen dice:

El propósito de este trabajo es mostrar que mediante la adecuada pequeñas modificaciones en el Bernstein-Robinson prueba puede ser convertido (y acortado) en uno que es expresable en la norma marco de análisis clásico.

PACIFIC   JOURNAL  OF  MATHEMATICS
Vol.   16, No.  3, 1966
INVARIANT SUBSPACES OF POLYNOMIALLY COMPACT OPERATORS

http://msp.org/pjm/1966/16-3/pjm-v16-n3-p05-p.pdf

... pero el no estándar de la prueba para ser modificado llegó primero.