Antecedentes. Esta pregunta pertenece a matemáticas malignas . Está motivado por este pregunta que enlaza con un artículo en el que se afirma que es un problema abierto si existen opciones estrictamente funcionales para los pullbacks en la categoría de conjuntos. Mientras pensaba en este problema, se me ocurrió calentar con los coproductos:
Definición. Dejemos que $C$ sea una categoría con coproductos. Entonces para todos los objetos $X,Y,Z$ podemos elegir los coproductos iterados $X \coprod (Y \coprod Z)$ y $(X \coprod Y) \coprod Z$ . Si los hemos elegido, existe un isomorfismo canónico $\alpha$ entre estos coproductos. Llamemos $X,Y,Z$ estrictamente asociativo (con respecto a los coproductos) si los coproductos pueden ser elegidos de tal manera que este isomorfismo es igual a la identidad. Esto significa, en particular, que los objetos $X \coprod (Y \coprod Z) = (X \coprod Y) \coprod Z$ son igual .
Pregunta . En la categoría (Set) de conjuntos y mapas, ¿es cierto que todo triple de objetos es estrictamente asociativo? En otras palabras (sin términos de teoría de la categoría), ¿es posible elegir para cada par de conjuntos $X,Y$ un conjunto $X \coprod Y$ que es la unión de dos conjuntos disjuntos dotados de biyecciones a $X$ y $Y$ , de tal manera que $X \coprod (Y \coprod Z) = (X \coprod Y) \coprod Z$ como una unión disjunta de tres conjuntos dotados de biyecciones a $X$ , $Y$ y $Z$ ?
