Aplicar el Teorema del Punto Fijo de Banach a un problema de valores en la frontera no lineal

Question

Estoy intentando el Ejercicio 5 en el Capítulo 9 de PDE Evans, 2da edición:

5. Considera el problema de valor límite no lineal $$\begin{cases}-\Delta u + b(Du)=f & \text{en }U \\ \qquad \qquad \quad \, \, \, u=0 & \text{en }\partial U. \end{cases}$$ Usa el Teorema del Punto Fijo de Banach para demostrar que existe una solución débil única $u \in H^2(U) \cap H_0^1(U)$ siempre que $b : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea Lipschitz continua, con $\text{Lip}(b)$ lo suficientemente pequeña.

Aquí están mis pensamientos hasta ahora sobre este problema:

Tengo la tentación de seguir el Teorema 2 en la página 536 del libro de texto, el cual dice (y el Teorema 2 en el libro de texto se refiere a $(2)$ en la página 535 que también escribí):

TEOREMA 2 (Existencia). Existe una solución débil única del problema de valor inicial-límite para el sistema de reacción-difusión $$\begin{cases}\mathbf{u}_t-\Delta\mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{u}) &\text{en }U_T \\ \qquad \quad \mathbf{u}=\mathbf{0} & \text{en }\partial U \times [0,T] \\\qquad \quad \mathbf{u}=\mathbf{g} & \text{en }\partial U \times \{t=0\}.\end{cases}\tag{2}$$ Aquí $\mathbf{u}=(u^1,\ldots,u^m)$, $\mathbf{g}=(g^1,\ldots,g^m)$, y como es usual $U_T = U\times (0,T]$, donde $U \subset \mathbb{R}^n$ es abierto y acotado, con frontera suave. El tiempo $T > 0$ está fijo. Asumimos que la función inicial $\mathbf{g}$ pertenece a $H_0^1(U;\mathbb{R}^m)$.

Parece que el Ejercicio 5 pide al lector construir una prueba similar a la del Teorema 2. (Por favor comenta si necesitas que reproduzca la última prueba aquí.) De todas formas, la prueba del Teorema 2 utiliza el Teorema del Punto Fijo de Banach, tal como lo pide el Ejercicio 5.

En algún lugar al principio de la prueba del Teorema 2, una oración dice "Dada una función $\mathbf{u} \in X$, establece $\mathbf{h}(t):=\mathbf{f}(\mathbf{u}(t))$ ($0 \le t \le T)$." Sin embargo, para el Ejercicio 5, $f$ no depende de $u$, pero $b(Du)$ sí lo hace.

Answer 1

Creo que tienes la noción correcta, y en el Ejercicio 5, las cosas son 'más agradables' para nosotros ya que no hay variable de tiempo con la que lidiar.

En lo siguiente, estoy asumiendo que el dado $f \in L^2(U)$.

1. Dada una función $u \in H^1_0(U)$, establece $g := f - b(Du)$, y considera la EDP lineal

\begin{align} -\Delta w &= g \quad \text{en } U\\ w &= 0 \quad \text{en } \partial U. \end{align}

2. Apelando a resultados de existencia y regularidad (ver Capítulo 6 en Evans), sabemos que existe una solución débil única $w \in H^1_0(U)\cap H^2(U)$ a la EDP lineal anterior.

3. Define un operador $A: H^1_0(U) \to H^1_0(U)$ por \begin{equation} A[u] = w \end{equation> Sean $u,\tilde{u} \in H^1_0(U)$, con $A[u] = w, A[\tilde{u}] = \tilde{w}$. Para probar: $A$ es una contracción estricta. (Este es un buen lugar para intentarlo primero sin leer más). Luego

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\begin{align} \left\|A[u] - A[\tilde{u}]\right\|_{H^1_0(U)} &= \|w-\tilde{w}\|_{H^1_0(U)}\\ &\leq C\|D(w - \tilde{w})\|_{L^2(U)}\quad(*).\end{align} En lo anterior, $(*)$ se sigue de una estimación de Sobolev. Ahora \begin{align} \|D(w - \tilde{w})\|_{L^2(U)}^2 &= \int_{U} D(w - \tilde{w})\cdot D(w - \tilde{w}) dx\\ &= -\int_{U}[\Delta(w - \tilde{w})] (w - \tilde{w}) dx\\ &= \int_{U} (b(D\tilde{u}) - b(Du))(w - \tilde{w}) dx\\ &\leq \|b(D\tilde{u}) - b(Du)\|_{L^2(U)}\|w - \tilde{w}\|_{L^2(U)}\quad (**)\\ &\leq C\|b(D\tilde{u}) - b(Du)\|_{L^2(U)}\|D(w - \tilde{w})\|_{L^2(U)} \quad (***) \end{align} En $(**)$, he utilizado el hecho de que $b$ es Lipschitz por lo que $b(Du), b(D\tilde{u}) \in L^2(U)$. En $(***)$, he utilizado una estimación de Sobolev. Nuestra conclusión, al llegar a $(***)$, es que \begin{equation} \|D(w - \tilde{w})\|_{L^2(U)} \leq C\|b(D\tilde{u}) - b(Du)\|_{L^2(U)}. \end{equation> Por lo tanto, al regresar a $(*)$, vemos que \begin{align> \left\|A[u] - A[\tilde{u}]\right\|_{H^1_0(U)} &\leq C\|b(D\tilde{u}) - b(Du)\|_{L^2(U)}\\ &\leq C\text{Lip}(b)\|D\tilde{u} - Du\|_{L^2(U)}\\ &\leq C\text{Lip}(b)\|u - \tilde{u}\|_{H^1_0(U)}. Si $\text{Lip}(b)$ es suficientemente pequeña, $A$ es una contracción estricta (aquí la constante $C$ es de las estimaciones de Sobolev, por lo que solo depende de cosas como la dimensión $n$, $U$, etc.).

Así, por el teorema del punto fijo de Banach, deducimos la existencia de un punto fijo único $u_* \in H^1_0(U)$, tal que $A[u_*] = u_*$. La teoría de regularidad para la EDP en 1. da $u_* \in H^2(U)\cap H^1_0(U)$.