El Paramagnetismo Spin-1/2 Partículas - Función De Partición

Question

Estoy tratando de encontrar una expresión para la función de partición de un sistema de spin-1/2 gas ideal partículas en una línea de longitud de la $L$. El número total de partículas $N$ es fijo, con la $N = N_\uparrow + N_\downarrow$. Aquí, $N_\uparrow$ es el número de spin-up partículas y $N_\downarrow$ es el número de spin-abajo las partículas en un determinado microestado.

Tengo el siguiente Hamiltoniano para que las partículas de masa $m$.

$$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{(p_i + \beta s_i)^2}{2m} -b s_i} $$

Aquí, $s_i = 1$ para el spin-up $N_\uparrow$ de las partículas y $s_i = -1$ para el spin-down $N_\uparrow$ de las partículas. $\beta$ $b$ son constantes.

Estoy tratando de utilizar el Hamiltoniano para escribir la energía para el spin-up y spin-abajo las partículas, así que puedo escribir la función de partición. Si puedo ampliar la Hamiltoniana, me sale:

$$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta s_i}{m} - b s_i + \beta^2} $$

¿Cómo puedo encontrar la energía de los dos conjuntos de espín de las partículas de este y usarla para crear con la función de partición? Es la energía de las partículas?

$$E_\uparrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta}{m} - b + \beta^2$$ $$E_\downarrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{-p_i \beta}{m} + b + \beta^2$$

¿Cómo se podía evaluar esta en la partición canónica de la función:

$$Z = \sum_{\mu_s}e^{-\beta H}$$

donde $\mu_s$ es la suma sobre todos los microstates. No estoy seguro de cómo evaluar esta.

Answer 1

Primero de todo, escribir una expresión explícita para la suma sobre todos los microstates.

Editar Ya que estamos tratando el sistema clásico, esto incluye una integral sobre la fase de espacio y una suma sobre todos los posibles spin-configuraciones.

$$ \sum_{\mu_s} = \sum_{\{s_i\}}\int\frac{d^Np d^Nq}{h^{3N}N!}$$

La segunda cosa es darse cuenta de que su Hamiltoniano es que no interactúan y canónica de la densidad de $e^{-\beta H} $ es solo un producto de una partícula Hamiltonianos $$ e^{-\beta H} =\prod_{i=1}^Ne^{-\beta h_i} $$ donde, por supuesto $$ h_i = {\frac{(p_i + \gamma s_i)^2}{2m} -b s_i} $$ (He cambiado el nombre de $\beta$$\gamma$, porque no me refiero a la inversa de la temperatura. aquí)

Así que usted tiene que evaluar
$$ \frac{1}{N!}\sum_{\{s_i\}}\prod_{i=1}^N\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} = $$

Debido a $H$ ist que no interactúan, la N-partícula de la fase-espacio-integral factorizes en N integraciones más de un 1-partícula de la fase-espacio. Al igual que uno puede intercambiar los spin-suma y el producto (convencerse de que esto es cierto! e.g que uno termina con los mismos términos, si usted suma más de spin primera o no).

Eso significa que, en lugar de sumar sobre todos los cuerpos microstates, primero las sumas de las posibles configuraciones de una sola partícula y de cuentas por el hecho de que hay muchos después. Además, todas las $h_i$ son equivalentes. Cada uno de ellos se acaba de llevar una diferente, pero redundante índice:

$$ Z = \frac{1}{N!}\prod_{i=1}^N\sum_{s_i=\pm1}\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} = \frac{1}{N!}\left(\sum_{s=\pm1}\int\frac{dp dq}{h^{3}} e^{-\beta h}\right)^N$$ donde $h$ $h_i$ pero sin un índice, porque la referencia no es específica de una partícula más.

/Edit

Vas a tener que pensar, qué hacer con el impulso de la integración. No he calculado el resultado, pero puede ser que usted no terminar con una solución en forma cerrada. Podría ser una aproximación necesaria para hacer el impulso de totalización. Editar creo que una gaussiana integración de hacer el truco. /Edit Háganos saber lo que usted termina con!